Номер 4.56, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.56, страница 36.

Условие.

4.56 $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

4.56

Для доказательства данного тождества будем последовательно упрощать выражение в левой части, складывая слагаемые попарно. Ключевой формулой, которая будет использоваться на каждом шаге, является формула разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

1. Сложим первые два слагаемых:

$ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1(1+a) + 1(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a+1-a}{1^2-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $

2. К полученному результату добавим третье слагаемое из исходного выражения:

$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1^2-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4} $

3. Продолжим процесс, добавив к результату четвертое слагаемое:

$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1^2-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8} $

4. Теперь добавим пятое слагаемое:

$ \frac{8}{1-a^8} + \frac{8}{1+a^8} = \frac{8(1+a^8) + 8(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{8+8a^8+8-8a^8}{1^2-(a^8)^2} = \frac{16}{1-a^{16}} $

5. Наконец, сложим полученный результат с последним слагаемым в левой части равенства:

$ \frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1^2-(a^{16})^2} = \frac{32}{1-a^{32}} $

В результате последовательного сложения всех слагаемых левой части мы получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.