Номер 4.51, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.51, страница 36.

Условие.

4.51 a) $\frac{2mn}{m^3 + n^3} + \frac{2m}{m^2 - n^2} - \frac{1}{m - n}$;

б) $\frac{2xy}{x^3 - y^3} - \frac{2x}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x + y}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

a)

Исходное выражение: $\frac{2mn}{m^3 + n^3} + \frac{2m}{m^2 - n^2} - \frac{1}{m - n}$.

1. Для начала разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
Знаменатель третьей дроби $m - n$ уже является простым множителем.

2. Найдём общий знаменатель. Он должен содержать все множители из разложений в наибольшей встречающейся степени.
Общий знаменатель: $(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители.
- Для первой дроби $\frac{2mn}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$ дополнительный множитель — $(m - n)$.
- Для второй дроби $\frac{2m}{(m - n)(m + n)}$ дополнительный множитель — $(m^2 - mn + n^2)$.
- Для третьей дроби $\frac{1}{m - n}$ дополнительный множитель — $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$, что равно $m^3 + n^3$.

4. Запишем выражение с общим знаменателем и выполним действия в числителе:
$\frac{2mn(m - n) + 2m(m^2 - mn + n^2) - 1 \cdot (m^3 + n^3)}{(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

5. Раскроем скобки в числителе:
$2mn(m - n) = 2m^2n - 2mn^2$
$2m(m^2 - mn + n^2) = 2m^3 - 2m^2n + 2mn^2$
$-(m^3 + n^3) = -m^3 - n^3$

6. Сложим полученные выражения, чтобы упростить числитель:
$(2m^2n - 2mn^2) + (2m^3 - 2m^2n + 2mn^2) - m^3 - n^3$
Приводим подобные слагаемые:
$2m^3 - m^3 + 2m^2n - 2m^2n - 2mn^2 + 2mn^2 - n^3 = m^3 - n^3$

7. Теперь наша дробь имеет вид:
$\frac{m^3 - n^3}{(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

8. Числитель можно разложить по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$

9. Подставим разложение в дробь и сократим общий множитель $(m - n)$:
$\frac{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}{(m - n)(m + n)(m^2 - mn + n^2)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

10. Знаменатель $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$ можно свернуть обратно в $m^3 + n^3$.
Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m^3 + n^3}$

---

б)

Исходное выражение: $\frac{2xy}{x^3 - y^3} - \frac{2x}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x + y}$.

1. Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Знаменатель $x + y$ уже является простым множителем.

2. Общий знаменатель: $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)$.

3. Приведём дроби к общему знаменателю:
- Для первой дроби $\frac{2xy}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}$ дополнительный множитель — $(x + y)$.
- Для второй дроби $\frac{2x}{(x - y)(x + y)}$ дополнительный множитель — $(x^2 + xy + y^2)$.
- Для третьей дроби $\frac{1}{x + y}$ дополнительный множитель — $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$, что равно $x^3 - y^3$.

4. Запишем выражение с общим знаменателем:
$\frac{2xy(x + y) - 2x(x^2 + xy + y^2) + 1 \cdot (x^3 - y^3)}{(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)}$

5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в числителе:
$2x^2y + 2xy^2 - (2x^3 + 2x^2y + 2xy^2) + x^3 - y^3$
$= 2x^2y + 2xy^2 - 2x^3 - 2x^2y - 2xy^2 + x^3 - y^3$
$= (-2x^3 + x^3) + (2x^2y - 2x^2y) + (2xy^2 - 2xy^2) - y^3$
$= -x^3 - y^3 = -(x^3 + y^3)$

6. Дробь принимает вид:
$\frac{-(x^3 + y^3)}{(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)}$

7. Разложим выражение $(x^3 + y^3)$ в числителе по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

8. Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $(x + y)$:
$\frac{-(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{-(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}$

9. Знаменатель $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$ можно свернуть обратно в $x^3 - y^3$.
Ответ: $-\frac{x^2 - xy + y^2}{x^3 - y^3}$