Номер 4.46, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.46, страница 35.

Условие.

4.46 а) $\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 1} - \frac{x}{x^2 + x + 1};$

б) $\frac{6y}{y^3 + 8} + \frac{1}{y + 2};$

в) $\frac{6c^2 + 48}{c^3 + 64} - \frac{3c}{c^2 - 4c + 16};$

г) $\frac{1}{b - 3} - \frac{9b}{b^3 - 27}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 1} - \frac{x}{x^2 + x + 1}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Знаменатель второй дроби, $x^2 + x + 1$, является одним из множителей первого знаменателя. Следовательно, общий знаменатель — это $(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(x - 1)$: $\frac{2x^2 + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{x(x - 1)}{(x^2 + x + 1)(x - 1)}$ Теперь выполним вычитание числителей, оставив знаменатель прежним: $\frac{(2x^2 + 1) - x(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x^2 + 1 - x^2 + x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$ Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + x + 1)$: $\frac{1}{x - 1}$
Ответ: $\frac{1}{x - 1}$

б) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{6y}{y^3 + 8} + \frac{1}{y + 2}$, приведем их к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $y^3 + 8 = y^3 + 2^3 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)$. Общий знаменатель — $(y + 2)(y^2 - 2y + 4)$. Домножим вторую дробь на множитель $(y^2 - 2y + 4)$: $\frac{6y}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)} + \frac{1 \cdot (y^2 - 2y + 4)}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}$ Выполним сложение числителей: $\frac{6y + (y^2 - 2y + 4)}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)} = \frac{y^2 + 4y + 4}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}$ Числитель $y^2 + 4y + 4$ является полным квадратом: $(y + 2)^2$. Подставим это в дробь: $\frac{(y + 2)^2}{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}$ Сократим дробь на $(y + 2)$: $\frac{y + 2}{y^2 - 2y + 4}$
Ответ: $\frac{y + 2}{y^2 - 2y + 4}$

в) Выполним вычитание дробей $\frac{6c^2 + 48}{c^3 + 64} - \frac{3c}{c^2 - 4c + 16}$. Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $c^3 + 64 = c^3 + 4^3 = (c + 4)(c^2 - 4c + 16)$. Общий знаменатель — $(c + 4)(c^2 - 4c + 16)$. Домножим вторую дробь на $(c + 4)$: $\frac{6c^2 + 48}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)} - \frac{3c(c + 4)}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)}$ Выполним вычитание: $\frac{(6c^2 + 48) - 3c(c + 4)}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)} = \frac{6c^2 + 48 - 3c^2 - 12c}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)} = \frac{3c^2 - 12c + 48}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)}$ Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки: $3c^2 - 12c + 48 = 3(c^2 - 4c + 16)$. Получим дробь: $\frac{3(c^2 - 4c + 16)}{(c + 4)(c^2 - 4c + 16)}$ Сократим дробь на $(c^2 - 4c + 16)$: $\frac{3}{c + 4}$
Ответ: $\frac{3}{c + 4}$

г) Выполним вычитание дробей $\frac{1}{b - 3} - \frac{9b}{b^3 - 27}$. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $b^3 - 27 = b^3 - 3^3 = (b - 3)(b^2 + 3b + 9)$. Общий знаменатель — $(b - 3)(b^2 + 3b + 9)$. Домножим первую дробь на $(b^2 + 3b + 9)$: $\frac{1 \cdot (b^2 + 3b + 9)}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)} - \frac{9b}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}$ Выполним вычитание числителей: $\frac{(b^2 + 3b + 9) - 9b}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)} = \frac{b^2 - 6b + 9}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}$ Числитель $b^2 - 6b + 9$ является полным квадратом: $(b - 3)^2$. Подставим это в дробь: $\frac{(b - 3)^2}{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}$ Сократим дробь на $(b - 3)$: $\frac{b - 3}{b^2 + 3b + 9}$
Ответ: $\frac{b - 3}{b^2 + 3b + 9}$