Номер 4.41, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.41, страница 34.

Условие.

4.41 a) $\frac{y}{(x - y)^2} - \frac{x + y}{y^2 - xy};$

б) $\frac{9p + 63}{(-p - 9)^2} - \frac{8}{p + 9};$

B) $\frac{a + b}{a^2 - ab} - \frac{a}{(b - a)^2};$

г) $\frac{3z + 7}{(-z - 7)^2} - \frac{2}{z + 7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) $ \frac{y}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{y^2-xy} $
Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся за скобки общего множителя $ -y $: $ y^2-xy = -y(x-y) $.
Выражение принимает вид: $ \frac{y}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{-y(x-y)} $.
Знак "минус" в знаменателе второй дроби меняет знак перед дробью на противоположный:
$ \frac{y}{(x-y)^2} + \frac{x+y}{y(x-y)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ y(x-y)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ y $, а второй дроби на $ (x-y) $.
$ \frac{y \cdot y}{y(x-y)^2} + \frac{(x+y)(x-y)}{y(x-y)^2} = \frac{y^2 + (x^2-y^2)}{y(x-y)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{y^2 + x^2 - y^2}{y(x-y)^2} = \frac{x^2}{y(x-y)^2} $
Ответ: $ \frac{x^2}{y(x-y)^2} $

б) $ \frac{9p+63}{(-p-9)^2} - \frac{8}{p+9} $
Преобразуем знаменатель первой дроби. Так как квадрат любого выражения (и противоположного ему) равен, то $ (-p-9)^2 = (-(p+9))^2 = (p+9)^2 $.
Выражение принимает вид: $ \frac{9p+63}{(p+9)^2} - \frac{8}{p+9} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (p+9)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (p+9) $.
$ \frac{9p+63}{(p+9)^2} - \frac{8(p+9)}{(p+9)^2} = \frac{9p+63 - 8(p+9)}{(p+9)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{9p+63-8p-72}{(p+9)^2} = \frac{(9p-8p) + (63-72)}{(p+9)^2} = \frac{p-9}{(p+9)^2} $
Ответ: $ \frac{p-9}{(p+9)^2} $

в) $ \frac{a+b}{a^2-ab} - \frac{a}{(b-a)^2} $
Преобразуем знаменатели. В первом знаменателе вынесем $ a $ за скобки: $ a^2-ab = a(a-b) $.
Во втором знаменателе $ (b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2 $.
Выражение принимает вид: $ \frac{a+b}{a(a-b)} - \frac{a}{(a-b)^2} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-b)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a-b) $, а второй дроби на $ a $.
$ \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)^2} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)^2} = \frac{(a^2-b^2) - a^2}{a(a-b)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{a^2-b^2-a^2}{a(a-b)^2} = \frac{-b^2}{a(a-b)^2} $
Ответ: $ -\frac{b^2}{a(a-b)^2} $

г) $ \frac{3z+7}{(-z-7)^2} - \frac{2}{z+7} $
Преобразуем знаменатель первой дроби: $ (-z-7)^2 = (-(z+7))^2 = (z+7)^2 $.
Выражение принимает вид: $ \frac{3z+7}{(z+7)^2} - \frac{2}{z+7} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (z+7)^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (z+7) $.
$ \frac{3z+7}{(z+7)^2} - \frac{2(z+7)}{(z+7)^2} = \frac{3z+7 - 2(z+7)}{(z+7)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{3z+7-2z-14}{(z+7)^2} = \frac{(3z-2z) + (7-14)}{(z+7)^2} = \frac{z-7}{(z+7)^2} $
Ответ: $ \frac{z-7}{(z+7)^2} $