Номер 4.34, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.34, страница 34.

Условие.

4.34 а) $ \frac{3c}{(c-2)^2} - \frac{6}{c-2} $

б) $ \frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{2(a-b)} $

в) $ \frac{3m}{(m+5)^2} + \frac{2}{m+5} $

г) $ \frac{x+y}{3(x-y)} + \frac{x^2}{(x-y)^2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3c}{(c-2)^2} - \frac{6}{c-2}$, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае наименьшим общим знаменателем является выражение $(c-2)^2$. Для этого вторую дробь нужно домножить на дополнительный множитель $(c-2)$.
$\frac{3c}{(c-2)^2} - \frac{6(c-2)}{(c-2)(c-2)} = \frac{3c - 6(c-2)}{(c-2)^2}$
Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3c - 6c + 12}{(c-2)^2} = \frac{-3c + 12}{(c-2)^2}$
Для упрощения вынесем общий множитель 3 (или -3) за скобки в числителе:
$\frac{3(4-c)}{(c-2)^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{3(4-c)}{(c-2)^2}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a^2}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{2(a-b)}$, найдем наименьший общий знаменатель. Он равен $2(a-b)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, а для второй — $(a-b)$.
$\frac{a^2 \cdot 2}{(a-b)^2 \cdot 2} - \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)(a-b)} = \frac{2a^2 - (a+b)(a-b)}{2(a-b)^2}$
В числителе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\frac{2a^2 - (a^2 - b^2)}{2(a-b)^2} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{2(a-b)^2} = \frac{a^2 + b^2}{2(a-b)^2}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{2(a-b)^2}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{3m}{(m+5)^2} + \frac{2}{m+5}$, приведем их к общему знаменателю $(m+5)^2$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $(m+5)$.
$\frac{3m}{(m+5)^2} + \frac{2(m+5)}{(m+5)^2} = \frac{3m + 2(m+5)}{(m+5)^2}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3m + 2m + 10}{(m+5)^2} = \frac{5m + 10}{(m+5)^2}$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$\frac{5(m+2)}{(m+5)^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{5(m+2)}{(m+5)^2}$

г) Чтобы сложить дроби $\frac{x+y}{3(x-y)} + \frac{x^2}{(x-y)^2}$, найдем наименьший общий знаменатель. Он равен $3(x-y)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-y)$, а для второй — 3.
$\frac{(x+y)(x-y)}{3(x-y)^2} + \frac{3x^2}{3(x-y)^2} = \frac{(x+y)(x-y) + 3x^2}{3(x-y)^2}$
В числителе применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - y^2 + 3x^2}{3(x-y)^2} = \frac{4x^2 - y^2}{3(x-y)^2}$
Числитель также является разностью квадратов: $4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x-y)(2x+y)$.
$\frac{(2x-y)(2x+y)}{3(x-y)^2}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{(2x-y)(2x+y)}{3(x-y)^2}$