Номер 4.38, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.38, страница 34.

Условие.

4.38 а) $\frac{2b}{1 - b^2} + \frac{1}{1 + b}$;

б) $\frac{36 + c^2}{c^2 - 36} - \frac{c}{c - 6}$;

в) $\frac{2a}{a^2 - 9} - \frac{1}{a + 3}$;

г) $\frac{2}{m - 4} - \frac{5m - 4}{m^2 - 16}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

а) $\frac{2b}{1-b^2} + \frac{1}{1+b}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $1-b^2 = (1-b)(1+b)$.
Общий знаменатель для дробей $\frac{2b}{(1-b)(1+b)}$ и $\frac{1}{1+b}$ будет $(1-b)(1+b)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(1-b)$:
$\frac{2b}{(1-b)(1+b)} + \frac{1 \cdot (1-b)}{(1+b)(1-b)} = \frac{2b + 1 - b}{(1-b)(1+b)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{b+1}{(1-b)(1+b)}$
Сократим дробь на общий множитель $(b+1)$:
$\frac{1}{1-b}$
Ответ: $\frac{1}{1-b}$

б) $\frac{36+c^2}{c^2-36} - \frac{c}{c-6}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $c^2-36 = (c-6)(c+6)$.
Общий знаменатель: $(c-6)(c+6)$.
Домножим вторую дробь на множитель $(c+6)$:
$\frac{36+c^2}{(c-6)(c+6)} - \frac{c \cdot (c+6)}{(c-6)(c+6)} = \frac{36+c^2 - c(c+6)}{(c-6)(c+6)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{36+c^2 - c^2 - 6c}{(c-6)(c+6)} = \frac{36 - 6c}{(c-6)(c+6)}$
Вынесем в числителе общий множитель за скобки. Обратим внимание, что $36-6c = -6(c-6)$:
$\frac{-6(c-6)}{(c-6)(c+6)}$
Сократим дробь на $(c-6)$:
$\frac{-6}{c+6}$
Ответ: $\frac{-6}{c+6}$

в) $\frac{2a}{a^2-9} - \frac{1}{a+3}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
Общим знаменателем будет $(a-3)(a+3)$.
Домножим вторую дробь на множитель $(a-3)$:
$\frac{2a}{(a-3)(a+3)} - \frac{1 \cdot (a-3)}{(a+3)(a-3)} = \frac{2a - (a-3)}{(a-3)(a+3)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2a - a + 3}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+3}{(a-3)(a+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:
$\frac{1}{a-3}$
Ответ: $\frac{1}{a-3}$

г) $\frac{2}{m-4} - \frac{5m-4}{m^2-16}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $m^2-16 = (m-4)(m+4)$.
Общий знаменатель: $(m-4)(m+4)$.
Домножим первую дробь на множитель $(m+4)$:
$\frac{2 \cdot (m+4)}{(m-4)(m+4)} - \frac{5m-4}{(m-4)(m+4)} = \frac{2(m+4) - (5m-4)}{(m-4)(m+4)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{2m+8 - 5m+4}{(m-4)(m+4)} = \frac{-3m+12}{(m-4)(m+4)}$
Вынесем в числителе общий множитель $-3$ за скобки:
$\frac{-3(m-4)}{(m-4)(m+4)}$
Сократим дробь на $(m-4)$:
$\frac{-3}{m+4}$
Ответ: $\frac{-3}{m+4}$