Номер 4.31, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.31, страница 33.

Условие.

4.31 a) $\frac{x^2 - 3xy}{(x + y)(x - y)} + \frac{y}{x - y}$;

б) $\frac{a - 3c}{a - c} + \frac{a^2 + 3c^2}{(a - c)(a + c)};$

в) $\frac{b - 2m}{b + m} - \frac{m^2 - 5bm}{(b - m)(b + m)};$

г) $\frac{3d}{d + 4} - \frac{d^2 - 20d}{(d - 4)(d + 4)};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x^2 - 3xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{y}{x-y}$, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является выражение $(x+y)(x-y)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(x+y)$:

$\frac{y}{x-y} = \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy+y^2}{(x+y)(x-y)}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{x^2 - 3xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{xy+y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 - 3xy + xy + y^2}{(x+y)(x-y)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$x^2 - 3xy + xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Полученный числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

б) В выражении $\frac{a-3c}{a-c} + \frac{a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)}$ общий знаменатель равен $(a-c)(a+c)$.

Домножим первую дробь на недостающий множитель $(a+c)$:

$\frac{(a-3c)(a+c)}{(a-c)(a+c)} + \frac{a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)} = \frac{(a-3c)(a+c) + a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a-3c)(a+c) = a^2 + ac - 3ac - 3c^2 = a^2 - 2ac - 3c^2$

Подставим и упростим числитель:

$\frac{a^2 - 2ac - 3c^2 + a^2 + 3c^2}{(a-c)(a+c)} = \frac{2a^2 - 2ac}{(a-c)(a+c)}$

Вынесем за скобки общий множитель $2a$ в числителе:

$\frac{2a(a-c)}{(a-c)(a+c)}$

Сократим дробь на $(a-c)$:

$\frac{2a}{a+c}$

Ответ: $\frac{2a}{a+c}$

в) В выражении $\frac{b-2m}{b+m} - \frac{m^2 - 5bm}{(b-m)(b+m)}$ общий знаменатель равен $(b-m)(b+m)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее на $(b-m)$:

$\frac{(b-2m)(b-m)}{(b+m)(b-m)} - \frac{m^2 - 5bm}{(b-m)(b+m)} = \frac{(b-2m)(b-m) - (m^2 - 5bm)}{(b-m)(b+m)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(b-2m)(b-m) - (m^2 - 5bm) = (b^2 - bm - 2bm + 2m^2) - m^2 + 5bm = b^2 - 3bm + 2m^2 - m^2 + 5bm$

Приведем подобные слагаемые:

$b^2 + (-3bm + 5bm) + (2m^2 - m^2) = b^2 + 2bm + m^2$

Числитель является полным квадратом суммы: $b^2 + 2bm + m^2 = (b+m)^2$.

Подставим в дробь:

$\frac{(b+m)^2}{(b-m)(b+m)}$

Сократим дробь на $(b+m)$:

$\frac{b+m}{b-m}$

Ответ: $\frac{b+m}{b-m}$

г) В выражении $\frac{3d}{d+4} - \frac{d^2 - 20d}{(d-4)(d+4)}$ общий знаменатель $(d-4)(d+4)$.

Домножим первую дробь на $(d-4)$:

$\frac{3d(d-4)}{(d+4)(d-4)} - \frac{d^2 - 20d}{(d-4)(d+4)} = \frac{3d(d-4) - (d^2 - 20d)}{(d-4)(d+4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{3d^2 - 12d - d^2 + 20d}{(d-4)(d+4)} = \frac{2d^2 + 8d}{(d-4)(d+4)}$

Вынесем общий множитель $2d$ за скобки в числителе:

$\frac{2d(d+4)}{(d-4)(d+4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(d+4)$:

$\frac{2d}{d-4}$

Ответ: $\frac{2d}{d-4}$