Номер 4.25, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.25, страница 32.

Условие.

4.25 а) $\frac{c + 1}{c + 3} - \frac{c^2 - 3}{c(c + 3)}$

б) $\frac{a - 2}{a^2} - \frac{a + 2}{a(a - 2)}$

в) $\frac{x^2}{y(y + x)} + \frac{y + 2x}{y + x}$

г) $\frac{4 - m}{m(m + 2)} + \frac{m - 2}{m^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{c+1}{c+3} - \frac{c^2-3}{c(c+3)}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для данных дробей является выражение $c(c+3)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$.
$\frac{c+1}{c+3} - \frac{c^2-3}{c(c+3)} = \frac{c(c+1)}{c(c+3)} - \frac{c^2-3}{c(c+3)}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{c(c+1) - (c^2-3)}{c(c+3)} = \frac{c^2+c-c^2+3}{c(c+3)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{c+3}{c(c+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(c+3)$:
$\frac{1}{c}$
Ответ: $\frac{1}{c}$

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{a-2}{a^2} - \frac{a+2}{a(a-2)}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $a^2$ и $a(a-2)$ общим знаменателем будет $a^2(a-2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-2)$, для второй — $a$.
$\frac{(a-2)(a-2)}{a^2(a-2)} - \frac{a(a+2)}{a^2(a-2)} = \frac{(a-2)^2 - a(a+2)}{a^2(a-2)}$
Раскроем скобки в числителе. Используем формулу квадрата разности для $(a-2)^2$:
$\frac{(a^2-4a+4) - (a^2+2a)}{a^2(a-2)} = \frac{a^2-4a+4-a^2-2a}{a^2(a-2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{-6a+4}{a^2(a-2)}$
Можно вынести общий множитель 2 за скобки в числителе для удобства записи:
$\frac{2(2-3a)}{a^2(a-2)}$ или $\frac{4-6a}{a^2(a-2)}$
Ответ: $\frac{4-6a}{a^2(a-2)}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{x^2}{y(y+x)} + \frac{y+2x}{y+x}$, приведем их к общему знаменателю, который равен $y(y+x)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $y$.
$\frac{x^2}{y(y+x)} + \frac{y(y+2x)}{y(y+x)} = \frac{x^2 + y(y+2x)}{y(y+x)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{x^2+y^2+2xy}{y(y+x)}$
Заметим, что числитель $x^2+2xy+y^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2$.
$\frac{(x+y)^2}{y(y+x)}$
Так как $y+x = x+y$, сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:
$\frac{x+y}{y}$
Ответ: $\frac{x+y}{y}$

г) Для сложения дробей $\frac{4-m}{m(m+2)} + \frac{m-2}{m^2}$ найдем общий знаменатель. Для знаменателей $m(m+2)$ и $m^2$ наименьший общий знаменатель — $m^2(m+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $m$, для второй — $(m+2)$.
$\frac{m(4-m)}{m^2(m+2)} + \frac{(m-2)(m+2)}{m^2(m+2)} = \frac{m(4-m) + (m-2)(m+2)}{m^2(m+2)}$
Раскроем скобки в числителе. Выражение $(m-2)(m+2)$ является разностью квадратов $m^2-4$.
$\frac{4m-m^2 + m^2-4}{m^2(m+2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{4m-4}{m^2(m+2)}$
Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:
$\frac{4(m-1)}{m^2(m+2)}$
Ответ: $\frac{4(m-1)}{m^2(m+2)}$