Номер 4.18, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.18, страница 31.

Условие.

4.18 a) $\frac{m+2}{m^2n} - \frac{n-3}{mn^2}$

б) $\frac{z^2+3t}{3z^2t} + \frac{z-2}{2z^2}$

в) $\frac{y-1}{xy^2} - \frac{2+x}{x^2y}$

г) $\frac{m^3-3n^2}{3m^3n^2} - \frac{m-5}{5m^3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{m + 2}{m^2n} - \frac{n - 3}{mn^2}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей $m^2n$ и $mn^2$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $m^2n^2$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби ($\frac{m + 2}{m^2n}$): дополнительный множитель $n$, так как $\frac{m^2n^2}{m^2n} = n$.

Для второй дроби ($\frac{n - 3}{mn^2}$): дополнительный множитель $m$, так как $\frac{m^2n^2}{mn^2} = m$.

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{n(m + 2)}{m^2n^2} - \frac{m(n - 3)}{m^2n^2} = \frac{n(m + 2) - m(n - 3)}{m^2n^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{mn + 2n - (mn - 3m)}{m^2n^2} = \frac{mn + 2n - mn + 3m}{m^2n^2} = \frac{3m + 2n}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{3m + 2n}{m^2n^2}$

б) $\frac{z^2 + 3t}{3z^2t} + \frac{z - 2}{2z^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $3z^2t$ и $2z^2$. НОЗ для них будет $6z^2t$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{6z^2t}{3z^2t} = 2$.

Для второй дроби: $\frac{6z^2t}{2z^2} = 3t$.

Выполним сложение дробей, умножив числители на их дополнительные множители:

$\frac{2(z^2 + 3t)}{6z^2t} + \frac{3t(z - 2)}{6z^2t} = \frac{2(z^2 + 3t) + 3t(z - 2)}{6z^2t}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2z^2 + 6t + 3zt - 6t}{6z^2t} = \frac{2z^2 + 3zt}{6z^2t}$

В числителе вынесем общий множитель $z$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{z(2z + 3t)}{6z^2t} = \frac{2z + 3t}{6zt}$

Ответ: $\frac{2z + 3t}{6zt}$

в) $\frac{y - 1}{xy^2} - \frac{2 + x}{x^2y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $xy^2$ и $x^2y$. НОЗ для них будет $x^2y^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{x^2y^2}{xy^2} = x$.

Для второй дроби: $\frac{x^2y^2}{x^2y} = y$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{x(y - 1)}{x^2y^2} - \frac{y(2 + x)}{x^2y^2} = \frac{x(y - 1) - y(2 + x)}{x^2y^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{xy - x - (2y + xy)}{x^2y^2} = \frac{xy - x - 2y - xy}{x^2y^2} = \frac{-x - 2y}{x^2y^2}$

Вынесем знак минуса за дробь для более удобной записи:

$\frac{-(x + 2y)}{x^2y^2} = -\frac{x + 2y}{x^2y^2}$

Ответ: $-\frac{x + 2y}{x^2y^2}$

г) $\frac{m^3 - 3n^2}{3m^3n^2} - \frac{m - 5}{5m^3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $3m^3n^2$ и $5m^3$. НОЗ для них будет $15m^3n^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{15m^3n^2}{3m^3n^2} = 5$.

Для второй дроби: $\frac{15m^3n^2}{5m^3} = 3n^2$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(m^3 - 3n^2)}{15m^3n^2} - \frac{3n^2(m - 5)}{15m^3n^2} = \frac{5(m^3 - 3n^2) - 3n^2(m - 5)}{15m^3n^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5m^3 - 15n^2 - (3mn^2 - 15n^2)}{15m^3n^2} = \frac{5m^3 - 15n^2 - 3mn^2 + 15n^2}{15m^3n^2} = \frac{5m^3 - 3mn^2}{15m^3n^2}$

В числителе вынесем общий множитель $m$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{m(5m^2 - 3n^2)}{15m^3n^2} = \frac{5m^2 - 3n^2}{15m^2n^2}$

Ответ: $\frac{5m^2 - 3n^2}{15m^2n^2}$