Номер 4.11, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.11, страница 30.

Условие.

4.11 a) $ \frac{3c + 5d}{35cd} + \frac{c - 3d}{21cd} $;

б) $ \frac{9 - 2a}{35a^2} - \frac{2a + 1}{15a^2} $;

в) $ \frac{4d + 7}{14d^2} - \frac{2d + 5}{10d^2} $;

г) $ \frac{2m + 3n}{21mn} - \frac{m + 6n}{15mn} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{3c + 5d}{35cd} + \frac{c - 3d}{21cd} $

Чтобы сложить две алгебраические дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $35cd$ и $21cd$.

1. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 35 и 21. Разложим их на простые множители:

$35 = 5 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

НОК(35, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Таким образом, общий знаменатель для дробей будет $105cd$.

2. Найдём дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби: $\frac{105cd}{35cd} = 3$.

Для второй дроби: $\frac{105cd}{21cd} = 5$.

3. Умножим числитель каждой дроби на её дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{3(3c + 5d)}{105cd} + \frac{5(c - 3d)}{105cd} = \frac{3(3c + 5d) + 5(c - 3d)}{105cd}$

4. Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$\frac{9c + 15d + 5c - 15d}{105cd} = \frac{(9c + 5c) + (15d - 15d)}{105cd} = \frac{14c}{105cd}$

5. Сократим полученную дробь. Общий множитель для числителя и знаменателя — $7c$:

$\frac{14c}{105cd} = \frac{2 \cdot 7 \cdot c}{15 \cdot 7 \cdot c \cdot d} = \frac{2}{15d}$

Ответ: $ \frac{2}{15d} $

---

б) $ \frac{9 - 2a}{35a^2} - \frac{2a + 1}{15a^2} $

1. Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $35a^2$ и $15a^2$.

НОК(35, 15) = 105. Общий знаменатель — $105a^2$.

2. Дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{105a^2}{35a^2} = 3$.

Для второй дроби: $\frac{105a^2}{15a^2} = 7$.

3. Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$\frac{3(9 - 2a)}{105a^2} - \frac{7(2a + 1)}{105a^2} = \frac{3(9 - 2a) - 7(2a + 1)}{105a^2}$

4. Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему её числителю:

$\frac{27 - 6a - (14a + 7)}{105a^2} = \frac{27 - 6a - 14a - 7}{105a^2}$

5. Приведём подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(27 - 7) + (-6a - 14a)}{105a^2} = \frac{20 - 20a}{105a^2}$

6. Упростим полученную дробь. Вынесем общий множитель 20 в числителе и сократим числовые коэффициенты:

$\frac{20(1 - a)}{105a^2} = \frac{4 \cdot 5 (1 - a)}{21 \cdot 5 a^2} = \frac{4(1 - a)}{21a^2}$

Ответ: $ \frac{4(1 - a)}{21a^2} $

---

в) $ \frac{4d + 7}{14d^2} - \frac{2d + 5}{10d^2} $

1. Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $14d^2$ и $10d^2$.

НОК(14, 10) = 70. Общий знаменатель — $70d^2$.

2. Дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{70d^2}{14d^2} = 5$.

Для второй дроби: $\frac{70d^2}{10d^2} = 7$.

3. Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(4d + 7)}{70d^2} - \frac{7(2d + 5)}{70d^2} = \frac{5(4d + 7) - 7(2d + 5)}{70d^2}$

4. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20d + 35 - (14d + 35)}{70d^2} = \frac{20d + 35 - 14d - 35}{70d^2}$

5. Приведём подобные слагаемые:

$\frac{(20d - 14d) + (35 - 35)}{70d^2} = \frac{6d}{70d^2}$

6. Сократим полученную дробь на общий множитель $2d$:

$\frac{6d}{70d^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot d}{35 \cdot 2 \cdot d \cdot d} = \frac{3}{35d}$

Ответ: $ \frac{3}{35d} $

---

г) $ \frac{2m + 3n}{21mn} - \frac{m + 6n}{15mn} $

1. Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $21mn$ и $15mn$.

НОК(21, 15) = 105. Общий знаменатель — $105mn$.

2. Дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{105mn}{21mn} = 5$.

Для второй дроби: $\frac{105mn}{15mn} = 7$.

3. Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(2m + 3n)}{105mn} - \frac{7(m + 6n)}{105mn} = \frac{5(2m + 3n) - 7(m + 6n)}{105mn}$

4. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{10m + 15n - (7m + 42n)}{105mn} = \frac{10m + 15n - 7m - 42n}{105mn}$

5. Приведём подобные слагаемые:

$\frac{(10m - 7m) + (15n - 42n)}{105mn} = \frac{3m - 27n}{105mn}$

6. Упростим полученную дробь. Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(m - 9n)}{105mn} = \frac{3(m - 9n)}{3 \cdot 35 \cdot mn} = \frac{m - 9n}{35mn}$

Ответ: $ \frac{m - 9n}{35mn} $