Номер 4.6, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.6, страница 30.

Условие.

4.6 а) $\frac{a}{b} + \frac{2}{a}$;

б) $\frac{n}{2m} - \frac{4m^2}{3n}$;

в) $\frac{3}{y} - \frac{y^2}{x}$;

г) $\frac{2p}{5q} + \frac{q^4}{2p}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{2}{a}$ — это их произведение $ab$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $a$, а второй дроби — на дополнительный множитель $b$:
$\frac{a}{b} + \frac{2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{2b}{ab}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:
$\frac{a^2 + 2b}{ab}$
Ответ: $\frac{a^2 + 2b}{ab}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2m$ и $3n$ — это $6mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{n}{2m}$ равен $3n$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{4m^2}{3n}$ равен $2m$.
$\frac{n}{2m} - \frac{4m^2}{3n} = \frac{n \cdot 3n}{2m \cdot 3n} - \frac{4m^2 \cdot 2m}{3n \cdot 2m} = \frac{3n^2}{6mn} - \frac{8m^3}{6mn}$
Выполним вычитание числителей, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{3n^2 - 8m^3}{6mn}$
Ответ: $\frac{3n^2 - 8m^3}{6mn}$

в) Приведем дроби $\frac{3}{y}$ и $\frac{y^2}{x}$ к общему знаменателю $xy$.
Домножим первую дробь на дополнительный множитель $x$, а вторую — на $y$:
$\frac{3}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{3 \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y^2 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{3x}{xy} - \frac{y^3}{xy}$
Вычтем числители:
$\frac{3x - y^3}{xy}$
Ответ: $\frac{3x - y^3}{xy}$

г) Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{2p}{5q}$ и $\frac{q^4}{2p}$. Наименьший общий знаменатель — это $10pq$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $2p$, для второй — $5q$.
$\frac{2p}{5q} + \frac{q^4}{2p} = \frac{2p \cdot 2p}{5q \cdot 2p} + \frac{q^4 \cdot 5q}{2p \cdot 5q} = \frac{4p^2}{10pq} + \frac{5q^5}{10pq}$
Сложим числители:
$\frac{4p^2 + 5q^5}{10pq}$
Ответ: $\frac{4p^2 + 5q^5}{10pq}$