Номер 4.13, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.13, страница 31.

Условие.

4.13 a) $\frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}$;

б) $\frac{2m-n}{mn} + \frac{5n-2k}{nk}$;

в) $\frac{x-y}{xy} + \frac{y-z}{yz}$;

г) $\frac{3z+2t}{zt} - \frac{t+3s}{st}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $ab$ и $ac$ является $abc$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{a-b}{ab}$ дополнительный множитель равен $\frac{abc}{ab} = c$. Для второй дроби $\frac{a-c}{ac}$ дополнительный множитель равен $\frac{abc}{ac} = b$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{c(a-b)}{abc} - \frac{b(a-c)}{abc} = \frac{c(a-b) - b(a-c)}{abc}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ac - bc - (ab - bc)}{abc} = \frac{ac - bc - ab + bc}{abc}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($(-bc)$ и $(+bc)$ взаимно уничтожаются):

$\frac{ac - ab}{abc}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки и сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \ne 0$):

$\frac{a(c-b)}{abc} = \frac{c-b}{bc}$

Ответ: $\frac{c-b}{bc}$

б) $\frac{2m-n}{mn} + \frac{5n-2k}{nk}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $mn$ и $nk$ — это $mnk$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{mnk}{mn} = k$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{mnk}{nk} = m$.

Выполним сложение дробей, умножив числители на их дополнительные множители:

$\frac{k(2m-n)}{mnk} + \frac{m(5n-2k)}{mnk} = \frac{k(2m-n) + m(5n-2k)}{mnk}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2mk - nk + 5mn - 2mk}{mnk}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($2mk$ и $-2mk$ взаимно уничтожаются):

$\frac{5mn - nk}{mnk}$

Вынесем общий множитель $n$ в числителе за скобки и сократим дробь на $n$ (при условии, что $n \ne 0$):

$\frac{n(5m-k)}{mnk} = \frac{5m-k}{mk}$

Ответ: $\frac{5m-k}{mk}$

в) $\frac{x-y}{xy} + \frac{y-z}{yz}$

Общим знаменателем для дробей является $xyz$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xyz}{xy} = z$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xyz}{yz} = x$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{z(x-y)}{xyz} + \frac{x(y-z)}{xyz} = \frac{z(x-y) + x(y-z)}{xyz}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{xz - yz + xy - xz}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($xz$ и $-xz$ взаимно уничтожаются):

$\frac{xy - yz}{xyz}$

Вынесем общий множитель $y$ в числителе и сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \ne 0$):

$\frac{y(x-z)}{xyz} = \frac{x-z}{xz}$

Ответ: $\frac{x-z}{xz}$

г) $\frac{3z+2t}{zt} - \frac{t+3s}{st}$

Общий знаменатель для $zt$ и $st$ — это $szt$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{szt}{zt} = s$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{szt}{st} = z$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{s(3z+2t)}{szt} - \frac{z(t+3s)}{szt} = \frac{s(3z+2t) - z(t+3s)}{szt}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3sz + 2st - (zt + 3sz)}{szt} = \frac{3sz + 2st - zt - 3sz}{szt}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($3sz$ и $-3sz$ взаимно уничтожаются):

$\frac{2st - zt}{szt}$

Вынесем общий множитель $t$ в числителе и сократим дробь на $t$ (при условии, что $t \ne 0$):

$\frac{t(2s-z)}{szt} = \frac{2s-z}{sz}$

Ответ: $\frac{2s-z}{sz}$