Номер 4.17, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.17, страница 31.

Условие.

4.17 а) $ \frac{y - x}{xy} + \frac{y - x}{y^2} $

б) $ \frac{d + 9}{3d} - \frac{d - 3}{d^2} $

в) $ \frac{a - 3b}{ab} + \frac{b + a}{a^2} $

г) $ \frac{c + 4}{4c} - \frac{c + 4}{c^2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{y-x}{xy} + \frac{y-x}{y^2}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей $xy$ и $y^2$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $xy^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xy^2}{xy} = y$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy^2}{y^2} = x$.

Умножим числители на их дополнительные множители и сложим полученные дроби:

$\frac{(y-x) \cdot y}{xy^2} + \frac{(y-x) \cdot x}{xy^2} = \frac{y(y-x) + x(y-x)}{xy^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{y^2 - xy + xy - x^2}{xy^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{y^2 - x^2}{xy^2}$

Ответ: $\frac{y^2-x^2}{xy^2}$

б) $\frac{d+9}{3d} - \frac{d-3}{d^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $3d$ и $d^2$. НОЗ для них равен $3d^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3d^2}{3d} = d$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3d^2}{d^2} = 3$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(d+9) \cdot d}{3d^2} - \frac{(d-3) \cdot 3}{3d^2} = \frac{d(d+9) - 3(d-3)}{3d^2}$

Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус перед второй дробью:

$\frac{d^2 + 9d - (3d - 9)}{3d^2} = \frac{d^2 + 9d - 3d + 9}{3d^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{d^2 + 6d + 9}{3d^2}$

Числитель представляет собой полный квадрат суммы $(d+3)^2$:

$\frac{(d+3)^2}{3d^2}$

Ответ: $\frac{(d+3)^2}{3d^2}$

в) $\frac{a-3b}{ab} + \frac{b+a}{a^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $ab$ и $a^2$. НОЗ для них равен $a^2b$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a^2b}{ab} = a$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2b}{a^2} = b$.

Выполним сложение дробей:

$\frac{(a-3b) \cdot a}{a^2b} + \frac{(b+a) \cdot b}{a^2b} = \frac{a(a-3b) + b(a+b)}{a^2b}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 3ab + ab + b^2}{a^2b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2b}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2$:

$\frac{(a-b)^2}{a^2b}$

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{a^2b}$

г) $\frac{c+4}{4c} - \frac{c+4}{c^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $4c$ и $c^2$. НОЗ для них равен $4c^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{4c^2}{4c} = c$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{4c^2}{c^2} = 4$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(c+4) \cdot c}{4c^2} - \frac{(c+4) \cdot 4}{4c^2} = \frac{c(c+4) - 4(c+4)}{4c^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{c^2 + 4c - (4c + 16)}{4c^2} = \frac{c^2 + 4c - 4c - 16}{4c^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{c^2 - 16}{4c^2}$

Числитель можно также представить в виде разности квадратов $(c-4)(c+4)$.

Ответ: $\frac{c^2 - 16}{4c^2}$