Номер 4.20, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.20, страница 32.

Условие.

4.20 Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях переменных:

а) $ \frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2} $ при $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{5}$;

б) $ \frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n} $ при $m = \frac{2}{3}$, $n = \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$ \frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2} $

Общим знаменателем для $4x^2y$ и $5xy^2$ является $20x^2y^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $5y$, а второй — на $4x$:

$ \frac{(12x + 5y) \cdot 5y}{4x^2y \cdot 5y} - \frac{(5y - 4x) \cdot 4x}{5xy^2 \cdot 4x} = \frac{60xy + 25y^2}{20x^2y^2} - \frac{20xy - 16x^2}{20x^2y^2} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{60xy + 25y^2 - (20xy - 16x^2)}{20x^2y^2} = \frac{60xy + 25y^2 - 20xy + 16x^2}{20x^2y^2} = \frac{16x^2 + 40xy + 25y^2}{20x^2y^2} $

Числитель $16x^2 + 40xy + 25y^2$ является полным квадратом суммы $(4x + 5y)^2$. Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$ \frac{(4x + 5y)^2}{20x^2y^2} $

Теперь подставим в него заданные значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{5}$:

$ \frac{\left(4 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{5}\right)^2}{20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{(2 + 1)^2}{20 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{25}} = \frac{3^2}{\frac{20}{100}} = \frac{9}{\frac{1}{5}} = 9 \cdot 5 = 45 $

Ответ: 45

б) Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$ \frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n} $

Общим знаменателем для $6mn^2$ и $9m^2n$ является $18m^2n^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $3m$, а второй — на $2n$:

$ \frac{(2n + 3m) \cdot 3m}{6mn^2 \cdot 3m} - \frac{(9m - 2n) \cdot 2n}{9m^2n \cdot 2n} = \frac{6mn + 9m^2}{18m^2n^2} - \frac{18mn - 4n^2}{18m^2n^2} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{6mn + 9m^2 - (18mn - 4n^2)}{18m^2n^2} = \frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{18m^2n^2} = \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{18m^2n^2} $

Числитель $9m^2 - 12mn + 4n^2$ является полным квадратом разности $(3m - 2n)^2$. Таким образом, упрощенное выражение:

$ \frac{(3m - 2n)^2}{18m^2n^2} $

Подставим в него заданные значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = \frac{1}{2}$:

$ \frac{\left(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}\right)^2}{18 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{(2 - 1)^2}{18 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1^2}{\frac{18 \cdot 4}{9 \cdot 4}} = \frac{1}{\frac{18}{9}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $