Страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.20 Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях переменных:

а) $ \frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2} $ при $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{5}$;

б) $ \frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n} $ при $m = \frac{2}{3}$, $n = \frac{1}{2}$.

а) Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$ \frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2} $

Общим знаменателем для $4x^2y$ и $5xy^2$ является $20x^2y^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $5y$, а второй — на $4x$:

$ \frac{(12x + 5y) \cdot 5y}{4x^2y \cdot 5y} - \frac{(5y - 4x) \cdot 4x}{5xy^2 \cdot 4x} = \frac{60xy + 25y^2}{20x^2y^2} - \frac{20xy - 16x^2}{20x^2y^2} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$ \frac{60xy + 25y^2 - (20xy - 16x^2)}{20x^2y^2} = \frac{60xy + 25y^2 - 20xy + 16x^2}{20x^2y^2} = \frac{16x^2 + 40xy + 25y^2}{20x^2y^2} $

Числитель $16x^2 + 40xy + 25y^2$ является полным квадратом суммы $(4x + 5y)^2$. Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$ \frac{(4x + 5y)^2}{20x^2y^2} $

Теперь подставим в него заданные значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{5}$:

$ \frac{\left(4 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{5}\right)^2}{20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{(2 + 1)^2}{20 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{25}} = \frac{3^2}{\frac{20}{100}} = \frac{9}{\frac{1}{5}} = 9 \cdot 5 = 45 $

Ответ: 45

б) Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$ \frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n} $

Общим знаменателем для $6mn^2$ и $9m^2n$ является $18m^2n^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $3m$, а второй — на $2n$:

$ \frac{(2n + 3m) \cdot 3m}{6mn^2 \cdot 3m} - \frac{(9m - 2n) \cdot 2n}{9m^2n \cdot 2n} = \frac{6mn + 9m^2}{18m^2n^2} - \frac{18mn - 4n^2}{18m^2n^2} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{6mn + 9m^2 - (18mn - 4n^2)}{18m^2n^2} = \frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{18m^2n^2} = \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{18m^2n^2} $

Числитель $9m^2 - 12mn + 4n^2$ является полным квадратом разности $(3m - 2n)^2$. Таким образом, упрощенное выражение:

$ \frac{(3m - 2n)^2}{18m^2n^2} $

Подставим в него заданные значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = \frac{1}{2}$:

$ \frac{\left(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}\right)^2}{18 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{(2 - 1)^2}{18 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1^2}{\frac{18 \cdot 4}{9 \cdot 4}} = \frac{1}{\frac{18}{9}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

Упростите выражение:

4.21 а) $\frac{1}{z+2} - \frac{2}{3z}$

б) $\frac{2a+b}{6a-b} - \frac{b}{2a}$

в) $\frac{1}{2t-1} - \frac{2}{5t}$

г) $\frac{7n+2k}{9n-2k} + \frac{n}{2k}$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{z+2} - \frac{2}{3z}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $z+2$ и $3z$ равен их произведению $3z(z+2)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $3z$, а второй дроби — на $(z+2)$:

$\frac{1}{z+2} - \frac{2}{3z} = \frac{1 \cdot 3z}{(z+2) \cdot 3z} - \frac{2 \cdot (z+2)}{3z \cdot (z+2)} = \frac{3z - 2(z+2)}{3z(z+2)}$

Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:

$\frac{3z - 2z - 4}{3z(z+2)} = \frac{z-4}{3z(z+2)}$

Ответ: $\frac{z-4}{3z(z+2)}$

б) Упростим выражение $\frac{2a+b}{6a-b} - \frac{b}{2a}$. Общий знаменатель для дробей равен $2a(6a-b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на $2a$, вторую — на $(6a-b)$:

$\frac{(2a+b) \cdot 2a}{(6a-b) \cdot 2a} - \frac{b \cdot (6a-b)}{2a \cdot (6a-b)} = \frac{2a(2a+b) - b(6a-b)}{2a(6a-b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4a^2 + 2ab - (6ab - b^2)}{2a(6a-b)} = \frac{4a^2 + 2ab - 6ab + b^2}{2a(6a-b)} = \frac{4a^2 - 4ab + b^2}{2a(6a-b)}$

Числитель $4a^2 - 4ab + b^2$ является полным квадратом разности $(2a-b)^2$.

$\frac{(2a-b)^2}{2a(6a-b)}$

Ответ: $\frac{(2a-b)^2}{2a(6a-b)}$

в) Упростим выражение $\frac{1}{2t-1} - \frac{2}{5t}$. Общий знаменатель для дробей равен $5t(2t-1)$.

Умножим первую дробь на $5t$, а вторую — на $(2t-1)$:

$\frac{1 \cdot 5t}{(2t-1) \cdot 5t} - \frac{2 \cdot (2t-1)}{5t \cdot (2t-1)} = \frac{5t - 2(2t-1)}{5t(2t-1)}$

Упростим числитель:

$\frac{5t - 4t + 2}{5t(2t-1)} = \frac{t+2}{5t(2t-1)}$

Ответ: $\frac{t+2}{5t(2t-1)}$

г) Упростим выражение $\frac{7n+2k}{9n-2k} + \frac{n}{2k}$. Общий знаменатель для дробей равен $2k(9n-2k)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив первую дробь на $2k$, а вторую — на $(9n-2k)$:

$\frac{(7n+2k) \cdot 2k}{(9n-2k) \cdot 2k} + \frac{n \cdot (9n-2k)}{2k \cdot (9n-2k)} = \frac{2k(7n+2k) + n(9n-2k)}{2k(9n-2k)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{14nk + 4k^2 + 9n^2 - 2nk}{2k(9n-2k)} = \frac{9n^2 + 12nk + 4k^2}{2k(9n-2k)}$

Числитель $9n^2 + 12nk + 4k^2$ является полным квадратом суммы $(3n+2k)^2$.

$\frac{(3n+2k)^2}{2k(9n-2k)}$

Ответ: $\frac{(3n+2k)^2}{2k(9n-2k)}$

4.22 а) $4a + \frac{1}{a - 1}$;

б) $a - 1 - \frac{2 - 3a}{a - 2}$;

в) $\frac{9 + 3b^2}{b + 3} - 2b$;

г) $\frac{3 - 2b^2}{2b - 1} + b + 3$.

а) Чтобы сложить выражение $4a$ и дробь $\frac{1}{a-1}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $a-1$.

Для этого представим $4a$ в виде дроби со знаменателем $a-1$:

$4a = \frac{4a(a-1)}{a-1} = \frac{4a^2 - 4a}{a-1}$

Теперь выполним сложение дробей:

$4a + \frac{1}{a-1} = \frac{4a^2 - 4a}{a-1} + \frac{1}{a-1} = \frac{4a^2 - 4a + 1}{a-1}$

Числитель $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности, так как $4a^2 - 4a + 1 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = (2a-1)^2$.

Следовательно, окончательное выражение имеет вид:

$\frac{(2a-1)^2}{a-1}$

Ответ: $\frac{4a^2 - 4a + 1}{a-1}$

б) Чтобы упростить выражение $a - 1 - \frac{2-3a}{a-2}$, приведем все его части к общему знаменателю $a-2$.

Представим выражение $(a-1)$ в виде дроби со знаменателем $a-2$:

$a - 1 = \frac{(a-1)(a-2)}{a-2} = \frac{a^2 - 2a - a + 2}{a-2} = \frac{a^2 - 3a + 2}{a-2}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2 - 3a + 2}{a-2} - \frac{2-3a}{a-2} = \frac{(a^2 - 3a + 2) - (2-3a)}{a-2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 3a + 2 - 2 + 3a = a^2$

Таким образом, итоговая дробь:

$\frac{a^2}{a-2}$

Ответ: $\frac{a^2}{a-2}$

в) Чтобы вычесть $2b$ из дроби $\frac{9+3b^2}{b+3}$, приведем их к общему знаменателю $b+3$.

Представим $2b$ в виде дроби с нужным знаменателем:

$2b = \frac{2b(b+3)}{b+3} = \frac{2b^2 + 6b}{b+3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{9+3b^2}{b+3} - \frac{2b^2 + 6b}{b+3} = \frac{(9+3b^2) - (2b^2 + 6b)}{b+3}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$9+3b^2 - 2b^2 - 6b = b^2 - 6b + 9$

Полученный числитель $b^2 - 6b + 9$ является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = (b-3)^2$.

Таким образом, итоговое выражение:

$\frac{b^2 - 6b + 9}{b+3}$

Ответ: $\frac{b^2 - 6b + 9}{b+3}$

г) Для упрощения выражения $\frac{3-2b^2}{2b-1} + b + 3$ приведем все его части к общему знаменателю $2b-1$.

Представим выражение $(b+3)$ в виде дроби со знаменателем $2b-1$:

$b + 3 = \frac{(b+3)(2b-1)}{2b-1} = \frac{2b^2 - b + 6b - 3}{2b-1} = \frac{2b^2 + 5b - 3}{2b-1}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{3-2b^2}{2b-1} + \frac{2b^2 + 5b - 3}{2b-1} = \frac{(3-2b^2) + (2b^2 + 5b - 3)}{2b-1}$

Сложим числители, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$3 - 2b^2 + 2b^2 + 5b - 3 = 5b$

В результате получаем дробь:

$\frac{5b}{2b-1}$

Ответ: $\frac{5b}{2b-1}$

4.23 a) $x + y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$;

б) $x - y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$;

в) $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + a - b$;

г) $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - a - b$.

а)

Чтобы упростить выражение $x + y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$, приведем все члены к общему знаменателю $x - y$.

Представим $x + y$ в виде дроби со знаменателем $x - y$: $x + y = \frac{(x + y)(x - y)}{x - y}$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ к числителю: $\frac{(x + y)(x - y)}{x - y} = \frac{x^2 - y^2}{x - y}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей: $\frac{x^2 - y^2}{x - y} - \frac{x^2 + y^2}{x - y} = \frac{(x^2 - y^2) - (x^2 + y^2)}{x - y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{x^2 - y^2 - x^2 - y^2}{x - y} = \frac{-2y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{-2y^2}{x - y}$

б)

Чтобы упростить выражение $x - y - \frac{x^2 + y^2}{x - y}$, приведем все члены к общему знаменателю $x - y$.

Представим $x - y$ в виде дроби со знаменателем $x - y$: $x - y = \frac{(x - y)(x - y)}{x - y} = \frac{(x - y)^2}{x - y}$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ к числителю: $\frac{(x - y)^2}{x - y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей: $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y} - \frac{x^2 + y^2}{x - y} = \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + y^2)}{x - y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - y^2}{x - y} = \frac{-2xy}{x - y}$

Ответ: $\frac{-2xy}{x - y}$

в)

Чтобы упростить выражение $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + a - b$, приведем все члены к общему знаменателю $a + b$.

Представим $a - b$ в виде дроби со знаменателем $a + b$: $a - b = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к числителю: $\frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = \frac{a^2 - b^2}{a + b}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним сложение дробей: $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a^2 + b^2) + (a^2 - b^2)}{a + b}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{a^2 + b^2 + a^2 - b^2}{a + b} = \frac{2a^2}{a + b}$

Ответ: $\frac{2a^2}{a + b}$

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - a - b$, приведем все члены к общему знаменателю $a + b$. Вынесем знак минус за скобки: $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - (a + b)$.

Представим $a + b$ в виде дроби со знаменателем $a + b$: $a + b = \frac{(a + b)(a + b)}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b}$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ к числителю: $\frac{(a + b)^2}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей: $\frac{a^2 + b^2}{a + b} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a^2 + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)}{a + b}$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{a + b} = \frac{-2ab}{a + b}$

Ответ: $\frac{-2ab}{a + b}$

Упростите выражение:

4.24 а) $\frac{b}{a} + \frac{b}{a(a-1)}$;

б) $\frac{b+a}{2a} + \frac{b^2}{a(a-b)}$;

в) $\frac{3d}{c(c+3)} - \frac{d}{c}$;

г) $\frac{n^2}{m(m+n)} - \frac{m-n}{3m}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{b}{a} + \frac{b}{a(a-1)}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{b}{a}$ и $\frac{b}{a(a-1)}$ это $a(a-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-1)$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.

$\frac{b}{a} + \frac{b}{a(a-1)} = \frac{b(a-1)}{a(a-1)} + \frac{b}{a(a-1)} = \frac{b(a-1) + b}{a(a-1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{ab - b + b}{a(a-1)} = \frac{ab}{a(a-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $a$:

$\frac{\cancel{a}b}{\cancel{a}(a-1)} = \frac{b}{a-1}$

Ответ: $\frac{b}{a-1}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{b+a}{2a} + \frac{b^2}{a(a-b)}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $2a$ и $a(a-b)$ это $2a(a-b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-b)$. Дополнительный множитель для второй дроби: $2$.

$\frac{(b+a)(a-b)}{2a(a-b)} + \frac{b^2 \cdot 2}{2a(a-b)} = \frac{(a+b)(a-b) + 2b^2}{2a(a-b)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{2a(a-b)} = \frac{a^2 + b^2}{2a(a-b)}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{2a(a-b)}$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{3d}{c(c+3)} - \frac{d}{c}$, приведем дроби к общему знаменателю $c(c+3)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(c+3)$.

$\frac{3d}{c(c+3)} - \frac{d(c+3)}{c(c+3)} = \frac{3d - d(c+3)}{c(c+3)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3d - dc - 3d}{c(c+3)} = \frac{-dc}{c(c+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $c$:

$\frac{-d\cancel{c}}{\cancel{c}(c+3)} = \frac{-d}{c+3}$

Ответ: $-\frac{d}{c+3}$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{n^2}{m(m+n)} - \frac{m-n}{3m}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $m(m+n)$ и $3m$ это $3m(m+n)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $(m+n)$.

$\frac{n^2 \cdot 3}{3m(m+n)} - \frac{(m-n)(m+n)}{3m(m+n)} = \frac{3n^2 - (m-n)(m+n)}{3m(m+n)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$:

$\frac{3n^2 - (m^2 - n^2)}{3m(m+n)} = \frac{3n^2 - m^2 + n^2}{3m(m+n)} = \frac{4n^2 - m^2}{3m(m+n)}$

Числитель можно разложить как разность квадратов $(2n-m)(2n+m)$, но это не приведет к дальнейшему сокращению дроби.

Ответ: $\frac{4n^2 - m^2}{3m(m+n)}$

4.25 а) $\frac{c + 1}{c + 3} - \frac{c^2 - 3}{c(c + 3)}$

б) $\frac{a - 2}{a^2} - \frac{a + 2}{a(a - 2)}$

в) $\frac{x^2}{y(y + x)} + \frac{y + 2x}{y + x}$

г) $\frac{4 - m}{m(m + 2)} + \frac{m - 2}{m^2}$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{c+1}{c+3} - \frac{c^2-3}{c(c+3)}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для данных дробей является выражение $c(c+3)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$.
$\frac{c+1}{c+3} - \frac{c^2-3}{c(c+3)} = \frac{c(c+1)}{c(c+3)} - \frac{c^2-3}{c(c+3)}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{c(c+1) - (c^2-3)}{c(c+3)} = \frac{c^2+c-c^2+3}{c(c+3)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{c+3}{c(c+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(c+3)$:
$\frac{1}{c}$
Ответ: $\frac{1}{c}$

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{a-2}{a^2} - \frac{a+2}{a(a-2)}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $a^2$ и $a(a-2)$ общим знаменателем будет $a^2(a-2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-2)$, для второй — $a$.
$\frac{(a-2)(a-2)}{a^2(a-2)} - \frac{a(a+2)}{a^2(a-2)} = \frac{(a-2)^2 - a(a+2)}{a^2(a-2)}$
Раскроем скобки в числителе. Используем формулу квадрата разности для $(a-2)^2$:
$\frac{(a^2-4a+4) - (a^2+2a)}{a^2(a-2)} = \frac{a^2-4a+4-a^2-2a}{a^2(a-2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{-6a+4}{a^2(a-2)}$
Можно вынести общий множитель 2 за скобки в числителе для удобства записи:
$\frac{2(2-3a)}{a^2(a-2)}$ или $\frac{4-6a}{a^2(a-2)}$
Ответ: $\frac{4-6a}{a^2(a-2)}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{x^2}{y(y+x)} + \frac{y+2x}{y+x}$, приведем их к общему знаменателю, который равен $y(y+x)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $y$.
$\frac{x^2}{y(y+x)} + \frac{y(y+2x)}{y(y+x)} = \frac{x^2 + y(y+2x)}{y(y+x)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{x^2+y^2+2xy}{y(y+x)}$
Заметим, что числитель $x^2+2xy+y^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2$.
$\frac{(x+y)^2}{y(y+x)}$
Так как $y+x = x+y$, сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:
$\frac{x+y}{y}$
Ответ: $\frac{x+y}{y}$

г) Для сложения дробей $\frac{4-m}{m(m+2)} + \frac{m-2}{m^2}$ найдем общий знаменатель. Для знаменателей $m(m+2)$ и $m^2$ наименьший общий знаменатель — $m^2(m+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $m$, для второй — $(m+2)$.
$\frac{m(4-m)}{m^2(m+2)} + \frac{(m-2)(m+2)}{m^2(m+2)} = \frac{m(4-m) + (m-2)(m+2)}{m^2(m+2)}$
Раскроем скобки в числителе. Выражение $(m-2)(m+2)$ является разностью квадратов $m^2-4$.
$\frac{4m-m^2 + m^2-4}{m^2(m+2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{4m-4}{m^2(m+2)}$
Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:
$\frac{4(m-1)}{m^2(m+2)}$
Ответ: $\frac{4(m-1)}{m^2(m+2)}$