Номер 4.22, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.22, страница 32.

Условие.

4.22 а) $4a + \frac{1}{a - 1}$;

б) $a - 1 - \frac{2 - 3a}{a - 2}$;

в) $\frac{9 + 3b^2}{b + 3} - 2b$;

г) $\frac{3 - 2b^2}{2b - 1} + b + 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сложить выражение $4a$ и дробь $\frac{1}{a-1}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $a-1$.

Для этого представим $4a$ в виде дроби со знаменателем $a-1$:

$4a = \frac{4a(a-1)}{a-1} = \frac{4a^2 - 4a}{a-1}$

Теперь выполним сложение дробей:

$4a + \frac{1}{a-1} = \frac{4a^2 - 4a}{a-1} + \frac{1}{a-1} = \frac{4a^2 - 4a + 1}{a-1}$

Числитель $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности, так как $4a^2 - 4a + 1 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = (2a-1)^2$.

Следовательно, окончательное выражение имеет вид:

$\frac{(2a-1)^2}{a-1}$

Ответ: $\frac{4a^2 - 4a + 1}{a-1}$

б) Чтобы упростить выражение $a - 1 - \frac{2-3a}{a-2}$, приведем все его части к общему знаменателю $a-2$.

Представим выражение $(a-1)$ в виде дроби со знаменателем $a-2$:

$a - 1 = \frac{(a-1)(a-2)}{a-2} = \frac{a^2 - 2a - a + 2}{a-2} = \frac{a^2 - 3a + 2}{a-2}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2 - 3a + 2}{a-2} - \frac{2-3a}{a-2} = \frac{(a^2 - 3a + 2) - (2-3a)}{a-2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 3a + 2 - 2 + 3a = a^2$

Таким образом, итоговая дробь:

$\frac{a^2}{a-2}$

Ответ: $\frac{a^2}{a-2}$

в) Чтобы вычесть $2b$ из дроби $\frac{9+3b^2}{b+3}$, приведем их к общему знаменателю $b+3$.

Представим $2b$ в виде дроби с нужным знаменателем:

$2b = \frac{2b(b+3)}{b+3} = \frac{2b^2 + 6b}{b+3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{9+3b^2}{b+3} - \frac{2b^2 + 6b}{b+3} = \frac{(9+3b^2) - (2b^2 + 6b)}{b+3}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$9+3b^2 - 2b^2 - 6b = b^2 - 6b + 9$

Полученный числитель $b^2 - 6b + 9$ является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = (b-3)^2$.

Таким образом, итоговое выражение:

$\frac{b^2 - 6b + 9}{b+3}$

Ответ: $\frac{b^2 - 6b + 9}{b+3}$

г) Для упрощения выражения $\frac{3-2b^2}{2b-1} + b + 3$ приведем все его части к общему знаменателю $2b-1$.

Представим выражение $(b+3)$ в виде дроби со знаменателем $2b-1$:

$b + 3 = \frac{(b+3)(2b-1)}{2b-1} = \frac{2b^2 - b + 6b - 3}{2b-1} = \frac{2b^2 + 5b - 3}{2b-1}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{3-2b^2}{2b-1} + \frac{2b^2 + 5b - 3}{2b-1} = \frac{(3-2b^2) + (2b^2 + 5b - 3)}{2b-1}$

Сложим числители, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$3 - 2b^2 + 2b^2 + 5b - 3 = 5b$

В результате получаем дробь:

$\frac{5b}{2b-1}$

Ответ: $\frac{5b}{2b-1}$