Номер 4.15, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.15, страница 31.

Условие.

4.15 a) $(2a + 1) - \frac{8a^2 + 3}{4a};$

б) $\frac{4}{3b} + 3b + 4;$

в) $\frac{9b^2 - 4}{3b} + (2 - 3b);$

г) $a - 1 + \frac{1}{4a}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $(2a + 1) - \frac{8a^2 + 3}{4a}$, необходимо привести все члены к общему знаменателю. Общим знаменателем является $4a$.
Представим первый член $(2a + 1)$ в виде дроби со знаменателем $4a$:
$(2a + 1) = \frac{(2a + 1) \cdot 4a}{4a} = \frac{8a^2 + 4a}{4a}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{8a^2 + 4a}{4a} - \frac{8a^2 + 3}{4a} = \frac{(8a^2 + 4a) - (8a^2 + 3)}{4a}$.
Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:
$\frac{8a^2 + 4a - 8a^2 - 3}{4a}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(8a^2 - 8a^2) + 4a - 3}{4a} = \frac{4a - 3}{4a}$.
Ответ: $\frac{4a - 3}{4a}$.

б) Чтобы сложить выражения $\frac{4}{3b} + 3b + 4$, приведем их к общему знаменателю $3b$.
Представим слагаемые $3b$ и $4$ в виде дробей со знаменателем $3b$:
$3b = \frac{3b \cdot 3b}{3b} = \frac{9b^2}{3b}$;
$4 = \frac{4 \cdot 3b}{3b} = \frac{12b}{3b}$.
Теперь сложим все дроби:
$\frac{4}{3b} + \frac{9b^2}{3b} + \frac{12b}{3b} = \frac{4 + 9b^2 + 12b}{3b}$.
Расположим слагаемые в числителе в стандартном порядке (по убыванию степеней переменной $b$):
$\frac{9b^2 + 12b + 4}{3b}$.
Числитель $9b^2 + 12b + 4$ представляет собой полный квадрат суммы $(3b+2)^2$, так как $(3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$.
Ответ: $\frac{9b^2 + 12b + 4}{3b}$.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{9b^2 - 4}{3b} + (2 - 3b)$, приведем слагаемые к общему знаменателю $3b$.
Представим $(2 - 3b)$ в виде дроби со знаменателем $3b$:
$(2 - 3b) = \frac{(2 - 3b) \cdot 3b}{3b} = \frac{6b - 9b^2}{3b}$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{9b^2 - 4}{3b} + \frac{6b - 9b^2}{3b} = \frac{(9b^2 - 4) + (6b - 9b^2)}{3b}$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{9b^2 - 4 + 6b - 9b^2}{3b} = \frac{(9b^2 - 9b^2) + 6b - 4}{3b} = \frac{6b - 4}{3b}$.
Ответ: $\frac{6b - 4}{3b}$.

г) Чтобы упростить выражение $a - 1 + \frac{1}{4a}$, приведем все слагаемые к общему знаменателю $4a$.
Представим $a$ и $1$ в виде дробей со знаменателем $4a$:
$a = \frac{a \cdot 4a}{4a} = \frac{4a^2}{4a}$;
$1 = \frac{1 \cdot 4a}{4a} = \frac{4a}{4a}$.
Теперь выполним действия с дробями:
$\frac{4a^2}{4a} - \frac{4a}{4a} + \frac{1}{4a} = \frac{4a^2 - 4a + 1}{4a}$.
Обратим внимание, что числитель $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности $(2a - 1)$, так как $(2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$.
Таким образом, выражение можно записать как $\frac{(2a-1)^2}{4a}$.
Ответ: $\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a}$.