Номер 4.16, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.16, страница 31.

Условие.

4.16 a) $ \frac{1}{x^2} + \frac{x-2}{x} $;

б) $ \frac{5}{a} - \frac{10a-1}{5a^3} $;

в) $ \frac{m+1}{m} - \frac{3m-1}{m^2} $;

г) $ \frac{1+8y}{2y^3} + \frac{8}{y} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{x^2} $ и $ \frac{x-2}{x} $, нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $ x^2 $ и $ x $. Наименьший общий знаменатель для них — $ x^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1}{x^2} $ равен 1, так как ее знаменатель уже $ x^2 $.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{x-2}{x} $ равен $ x $, так как $ x \cdot x = x^2 $.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ x $:

$ \frac{x-2}{x} = \frac{(x-2) \cdot x}{x \cdot x} = \frac{x^2-2x}{x^2} $

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{1}{x^2} + \frac{x^2-2x}{x^2} = \frac{1 + x^2 - 2x}{x^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2} $

Числитель $ x^2 - 2x + 1 $ можно свернуть по формуле квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. В нашем случае это $ (x-1)^2 $.

Ответ: $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2} $ или $ \frac{(x-1)^2}{x^2} $.

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{5}{a} - \frac{10a-1}{5a^3} $, найдем общий знаменатель. Знаменатели дробей — $ a $ и $ 5a^3 $. Наименьший общий знаменатель — $ 5a^3 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{5}{a} $ равен $ 5a^2 $, так как $ a \cdot 5a^2 = 5a^3 $.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{10a-1}{5a^3} $ равен 1.

Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$ \frac{5}{a} = \frac{5 \cdot 5a^2}{a \cdot 5a^2} = \frac{25a^2}{5a^3} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{25a^2}{5a^3} - \frac{10a-1}{5a^3} = \frac{25a^2 - (10a-1)}{5a^3} = \frac{25a^2 - 10a + 1}{5a^3} $

Числитель $ 25a^2 - 10a + 1 $ является полным квадратом: $ (5a-1)^2 $.

Ответ: $ \frac{25a^2 - 10a + 1}{5a^3} $ или $ \frac{(5a-1)^2}{5a^3} $.

в) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{m+1}{m} - \frac{3m-1}{m^2} $, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $ m $ и $ m^2 $. Общий знаменатель — $ m^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{m+1}{m} $ равен $ m $.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{3m-1}{m^2} $ равен 1.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ m $:

$ \frac{(m+1) \cdot m}{m \cdot m} = \frac{m^2+m}{m^2} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{m^2+m}{m^2} - \frac{3m-1}{m^2} = \frac{m^2+m-(3m-1)}{m^2} = \frac{m^2+m-3m+1}{m^2} = \frac{m^2-2m+1}{m^2} $

Числитель $ m^2-2m+1 $ является квадратом разности $ (m-1)^2 $.

Ответ: $ \frac{m^2-2m+1}{m^2} $ или $ \frac{(m-1)^2}{m^2} $.

г) Чтобы сложить дроби $ \frac{1+8y}{2y^3} + \frac{8}{y} $, найдем общий знаменатель. Знаменатели — $ 2y^3 $ и $ y $. Общий знаменатель — $ 2y^3 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1+8y}{2y^3} $ равен 1.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{8}{y} $ равен $ 2y^2 $, так как $ y \cdot 2y^2 = 2y^3 $.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$ \frac{8}{y} = \frac{8 \cdot 2y^2}{y \cdot 2y^2} = \frac{16y^2}{2y^3} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{1+8y}{2y^3} + \frac{16y^2}{2y^3} = \frac{1+8y+16y^2}{2y^3} = \frac{16y^2+8y+1}{2y^3} $

Числитель $ 16y^2+8y+1 $ является полным квадратом суммы: $ (4y+1)^2 $.

Ответ: $ \frac{16y^2+8y+1}{2y^3} $ или $ \frac{(4y+1)^2}{2y^3} $.