Номер 4.19, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями - номер 4.19, страница 31.

Условие.

4.19 Упростите выражение:

а) $\frac{xy - y}{x} - \frac{xy - x}{y} - \frac{x^2 - y^2}{xy}$;

б) $12 + \frac{4p}{q} + \frac{p^2}{3q^2}$;

в) $\frac{3mn + 2n^2}{mn} - \frac{m + 2n}{m} + \frac{m - 2n}{n}$;

г) $\frac{25b^2}{2a^2} - \frac{10b}{a} + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить данное выражение, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{xy - y}{x}$, $\frac{xy - x}{y}$ и $\frac{x^2 - y^2}{xy}$ это $xy$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$, а второй дроби на $x$:
$\frac{xy - y}{x} - \frac{xy - x}{y} - \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{y(xy - y)}{xy} - \frac{x(xy - x)}{xy} - \frac{x^2 - y^2}{xy}$
Теперь запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{y(xy - y) - x(xy - x) - (x^2 - y^2)}{xy} = \frac{xy^2 - y^2 - x^2y + x^2 - x^2 + y^2}{xy}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$xy^2 - x^2y - y^2 + y^2 + x^2 - x^2 = xy^2 - x^2y$
Получаем дробь:
$\frac{xy^2 - x^2y}{xy}$
Вынесем общий множитель $xy$ в числителе за скобки и сократим дробь:
$\frac{xy(y - x)}{xy} = y - x$
Ответ: $y - x$.

б) Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для $12$, $\frac{4p}{q}$ и $\frac{p^2}{3q^2}$ это $3q^2$.
Представим $12$ как $\frac{12}{1}$. Домножим первое слагаемое на $3q^2$, второе на $3q$:
$\frac{12 \cdot 3q^2}{3q^2} + \frac{4p \cdot 3q}{3q^2} + \frac{p^2}{3q^2} = \frac{36q^2 + 12pq + p^2}{3q^2}$
Числитель $36q^2 + 12pq + p^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 6q$ и $b = p$.
Действительно, $(6q)^2 + 2(6q)(p) + p^2 = 36q^2 + 12pq + p^2$.
Таким образом, выражение можно свернуть:
$\frac{(6q + p)^2}{3q^2}$
Ответ: $\frac{(6q + p)^2}{3q^2}$.

в) Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю $mn$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $n$, а третьей дроби на $m$:
$\frac{3mn + 2n^2}{mn} - \frac{n(m + 2n)}{mn} + \frac{m(m - 2n)}{mn}$
Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{3mn + 2n^2 - (mn + 2n^2) + (m^2 - 2mn)}{mn} = \frac{3mn + 2n^2 - mn - 2n^2 + m^2 - 2mn}{mn}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3mn - mn - 2mn) + (2n^2 - 2n^2) + m^2 = 0 + 0 + m^2 = m^2$
Получаем дробь:
$\frac{m^2}{mn}$
Сократим дробь на $m$:
$\frac{m}{n}$
Ответ: $\frac{m}{n}$.

г) Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\frac{25b^2}{2a^2}$, $\frac{10b}{a}$ и $2$ это $2a^2$.
Представим $2$ как $\frac{2}{1}$. Домножим второе слагаемое на $2a$, а третье на $2a^2$:
$\frac{25b^2}{2a^2} - \frac{10b \cdot 2a}{2a^2} + \frac{2 \cdot 2a^2}{2a^2} = \frac{25b^2 - 20ab + 4a^2}{2a^2}$
Числитель $25b^2 - 20ab + 4a^2$ является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 5b$ и $y = 2a$.
Действительно, $(5b)^2 - 2(5b)(2a) + (2a)^2 = 25b^2 - 20ab + 4a^2$.
Таким образом, выражение можно свернуть:
$\frac{(5b - 2a)^2}{2a^2}$
Ответ: $\frac{(5b - 2a)^2}{2a^2}$.