Страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Вспомните из курса математики порядок действий при арифметических вычислениях.

В математике принят строгий порядок выполнения арифметических действий для того, чтобы результат вычислений был однозначным. Этот порядок определяет приоритет операций.

1. Действия в скобках
В первую очередь всегда выполняются операции, заключенные в скобки. Если в выражении есть несколько пар скобок, вложенных друг в друга, то вычисления начинаются с самых внутренних скобок.

2. Возведение в степень и извлечение корня
После вычислений в скобках выполняются операции возведения в степень (например, $x^n$) и извлечения корня (например, $\sqrt{x}$). Эти операции имеют одинаковый приоритет и выполняются в порядке их следования слева направо.

3. Умножение и деление
Следующими по приоритету являются операции умножения и деления. Они также имеют равный приоритет, поэтому выполняются в том порядке, в котором они aparecen в выражении, то есть слева направо.

4. Сложение и вычитание
Самый низкий приоритет у операций сложения и вычитания. Они выполняются в последнюю очередь, также в порядке их следования в выражении слева направо.

Рассмотрим пример: $50 - (4 + (20 - 5 \times 2)) \div 7$.
1. Сначала выполняем действия в самых внутренних скобках. В них есть вычитание и умножение. Умножение имеет более высокий приоритет: $5 \times 2 = 10$.
Выражение становится: $50 - (4 + (20 - 10)) \div 7$.

2. Теперь завершаем вычисления во внутренних скобках: $20 - 10 = 10$.
Выражение становится: $50 - (4 + 10) \div 7$.

3. Выполняем действие в оставшихся скобках: $4 + 10 = 14$.
Выражение становится: $50 - 14 \div 7$.

4. Теперь, когда скобок нет, выполняем деление, так как оно имеет приоритет над вычитанием: $14 \div 7 = 2$.
Выражение становится: $50 - 2$.

5. Последнее действие — вычитание: $50 - 2 = 48$.

Ответ: Порядок действий при арифметических вычислениях следующий: 1) действия в скобках (начиная с самых внутренних); 2) возведение в степень и извлечение корня; 3) умножение и деление (в порядке их следования слева направо); 4) сложение и вычитание (в порядке их следования слева направо).

3. Что такое дробное выражение?

Дробное выражение (также известное как рациональная дробь или алгебраическая дробь) — это алгебраическое выражение, которое представляет собой частное от деления двух выражений, причём в знаменателе (делителе) обязательно содержится переменная.

Все рациональные выражения делятся на два типа:

• Целые выражения: это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения. Они также могут включать деление на число, отличное от нуля. В целых выражениях нет деления на переменную.
  Примеры целых выражений: $5a^2b$, $x-y$, $(a+3)^2$, $\frac{x-y}{4}$.
• Дробные выражения: это выражения, которые, помимо операций сложения, вычитания и умножения, содержат операцию деления на выражение с переменной (или несколькими переменными).
  Примеры дробных выражений: $\frac{a}{b}$, $\frac{x+5}{x-1}$, $\frac{1}{y^2+3}$, $a+\frac{b}{c}$.

Ключевым отличием дробного выражения является наличие переменной в знаменателе. Это накладывает ограничение на область допустимых значений (ОДЗ) переменной: знаменатель дроби не может быть равен нулю. Например, для выражения $\frac{x+5}{x-1}$ недопустимым значением является $x=1$, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

Таким образом, дробное выражение — это, по сути, дробь, в числителе и знаменателе которой могут стоять многочлены (или другие выражения), и при этом знаменатель содержит переменную.

Ответ: Дробное выражение — это алгебраическое выражение, которое содержит операцию деления на выражение с переменной.

5. Как вы можете объяснить задание «Докажите тождество»? Что необходимо сделать?

Как вы можете объяснить задание «Докажите тождество»?

Задание «Докажите тождество» означает, что необходимо установить справедливость данного равенства для всех допустимых значений входящих в него переменных. В отличие от обычного уравнения, которое верно лишь при определённых значениях переменных (корнях), тождество является верным равенством всегда.

Например, выражение $x + 5 = 8$ — это уравнение, так как оно верно только при $x=3$. А выражение $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — это тождество, потому что какое бы число мы ни подставили вместо $a$ и $b$, равенство всегда будет выполняться.

Таким образом, доказать тождество — это значит с помощью математических преобразований показать, что левая и правая части равенства по сути являются одним и тем же выражением, просто записанным в разной форме.

Ответ: Объяснить задание «Докажите тождество» можно как требование доказать, что данное равенство с переменными будет верным при любых значениях этих переменных, при которых обе части равенства имеют смысл.

Что необходимо сделать?

Для доказательства тождества необходимо, используя тождественные преобразования, показать, что левая часть равенства равна правой. Существует несколько основных способов это сделать:

1. Преобразовать левую часть к виду правой. Выполнять алгебраические операции (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т.д.) над левой частью, пока она не станет идентичной правой.
2. Преобразовать правую часть к виду левой. Этот способ аналогичен первому, но преобразования выполняются над правой частью равенства. Обычно преобразуют более сложную часть к более простой.
3. Преобразовать обе части к одному и тому же выражению. Если и левая, и правая части выглядят сложно, можно упрощать каждую из них по отдельности. Если в результате преобразований левая часть стала равна некоторому выражению $C$, и правая часть стала равна этому же выражению $C$, тождество доказано.
4. Найти разность левой и правой частей и показать, что она равна нулю. Составляется выражение «левая часть минус правая часть», и с помощью преобразований доказывается, что это выражение равно нулю. Если $A - B = 0$, то это равносильно тому, что $A = B$.

Важно помнить, что при доказательстве тождества нельзя переносить слагаемые из одной части в другую, так как это действие подразумевает, что равенство уже является верным, а именно это нам и требуется доказать.

Ответ: Необходимо выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства, чтобы привести их к одинаковому виду, либо доказать, что их разность равна нулю.

2. Как вы понимаете термин целое выражение?

Термин «целое выражение» в алгебре означает математическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень.

Ключевой особенностью целого выражения является то, что оно не содержит деления на переменную или на выражение, содержащее переменную. При этом деление на числовое значение (константу), отличное от нуля, допускается.

Например, целыми выражениями являются:
1. Одночлены и многочлены: $5x$, $a^2b$, $3x^2 - 7y + 1$.
2. Выражения с числами и скобками: $(a+b)(a-b)$, $2(x+3)$.
3. Выражения с делением на константу: $\frac{x}{5}$, $\frac{a+b}{2}$.

Выражения, которые не являются целыми, называются дробно-рациональными. Примерами таких выражений служат $\frac{1}{x}$ (содержит деление на переменную $x$), $\frac{a+b}{c}$ (содержит деление на переменную $c$) и $y^3 + \frac{5}{y-1}$ (содержит деление на выражение с переменной $y$).

Таким образом, все многочлены являются целыми выражениями, но не все целые выражения являются многочленами (например, выражение $\frac{x+1}{2}$ является целым, но не является многочленом в стандартной форме).

Ответ: Целое выражение — это алгебраическое выражение, которое не содержит операции деления на переменную. Оно строится из чисел и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Например, $12a^3 - b^2 + 5$ и $\frac{x-y}{7}$ являются целыми выражениями, а выражение $\frac{12}{a}$ — нет.

4. Что такое рациональное выражение?

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ являются многочленами, причем многочлен $Q$ не равен нулю ($Q \neq 0$).

Проще говоря, это выражения, составленные из чисел, переменных с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в натуральную степень.

Рациональные выражения делятся на два типа:

1. Целые выражения. Это выражения, которые не содержат деления на переменную или на выражение с переменной. Любой многочлен является целым выражением.
   Примеры: $7x^2 - 2xy$; $a(a+5) - 1$; $\frac{b-c}{4}$. В последнем примере деление происходит на число, а не на переменную, поэтому выражение считается целым.

2. Дробные выражения. Это выражения, которые содержат деление на выражение с переменной.
   Примеры: $\frac{x}{x-8}$; $\frac{a^2+b^2}{a-b}$; $y + \frac{1}{y}$.

Для дробных рациональных выражений крайне важно понятие Области допустимых значений (ОДЗ). Поскольку на ноль делить нельзя, из ОДЗ исключаются все значения переменных, которые обращают знаменатель дроби в ноль.

Например, для выражения $\frac{12}{a-3}$ знаменатель $a-3$ не может быть равен нулю.
$a - 3 \neq 0$
$a \neq 3$
Таким образом, ОДЗ данного выражения — это все числа, кроме $3$.

Ответ: Рациональное выражение — это алгебраическая дробь вида $\frac{P}{Q}$, где числитель $P$ и знаменатель $Q$ являются многочленами, причем $Q \neq 0$. Они бывают целыми (не содержат деления на переменную) и дробными (содержат деление на переменную). Для дробных выражений нужно определять область допустимых значений — множество значений переменных, при которых знаменатель не обращается в ноль.

Тождество — это равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать тождество, то есть установить, что равенство действительно является тождественным, используют несколько основных методов.

1. Преобразование одной части равенства в другую

Это самый распространенный способ. Суть его в том, что одну из частей тождества (как правило, более сложную) с помощью тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул и т.д.) приводят к виду другой части. То есть, для доказательства тождества $A = B$ показывают цепочку равенств $A = A_1 = A_2 = \dots = B$.

Пример: Доказать тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Решение: Преобразуем левую часть равенства, перемножив скобки:

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$.

В результате преобразований левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Способ заключается в последовательном преобразовании выражения в одной части равенства до тех пор, пока оно не станет идентичным выражению в другой части.

2. Преобразование обеих частей равенства к одному и тому же выражению

Этот метод применяется, когда преобразовать одну часть в другую напрямую сложно или громоздко. В этом случае преобразуют (упрощают) и левую, и правую части тождества по отдельности, стремясь привести их к одинаковому, более простому виду. Если $A = C$ и $B = C$, то из этого следует, что $A = B$.

Пример: Доказать тождество $\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \sec^2 \alpha \cdot \csc^2 \alpha$.

Решение: Преобразуем обе части, выразив секанс и косеканс через синус и косинус.

Левая часть (ЛЧ):

$\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$.

Правая часть (ПЧ):

$\sec^2 \alpha \cdot \csc^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$.

Поскольку ЛЧ и ПЧ равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Способ заключается в независимом преобразовании обеих частей равенства до тех пор, пока они не примут одинаковый вид.

3. Доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю

Чтобы доказать тождество $A = B$, можно составить их разность $A - B$ и доказать, что она равна нулю для всех допустимых значений переменных. Если $A - B = 0$, то очевидно, что $A = B$.

Пример: Доказать тождество $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Решение: Составим разность правой и левой частей и упростим ее:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a^3 + b^3) = (a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3) - (a^3 + b^3)$

$= (a^3 + b^3) - (a^3 + b^3) = 0$.

Так как разность равна нулю, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Способ заключается в составлении разности между левой и правой частями равенства и ее тождественном преобразовании к нулю.

4. Метод математической индукции

Этот метод используется для доказательства тождеств, зависящих от натурального числа $n$. Доказательство строится в три этапа:

1. База индукции: Проверяется верность тождества для начального значения $n$ (обычно $n = 1$).
2. Индукционное предположение: Предполагается, что тождество верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$.
3. Индукционный шаг: На основе предположения доказывается, что тождество верно и для следующего числа, $n = k + 1$.

Пример: Доказать, что для любого натурального $n$ верно равенство $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Решение:

1. База индукции: при $n = 1$ левая часть равна $1$, правая часть равна $\frac{1(1+1)}{2} = 1$. Равенство верно.

2. Индукционное предположение: пусть равенство верно для $n = k$, то есть $1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

3. Индукционный шаг: докажем верность для $n = k+1$.

$1 + 2 + \dots + k + (k+1) = (1 + 2 + \dots + k) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Мы получили правую часть исходной формулы для $n=k+1$. Тождество доказано методом математической индукции.

Ответ: Способ применяется для тождеств с натуральным параметром $n$ и состоит в проверке "базы индукции" и доказательстве "индукционного шага".

5. Другие (специфические) методы

В некоторых случаях применяются и другие подходы:

• Геометрический метод: Некоторые тождества, особенно тригонометрические, можно доказать с помощью геометрических построений. Классический пример — доказательство основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ с помощью прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора.
• Методы математического анализа: Для доказательства некоторых тождеств можно использовать производные или интегралы. Например, если доказать, что производные левой и правой частей равны, то сами части отличаются на константу. Если затем показать, что части равны хотя бы в одной точке, тождество будет доказано.
• Доказательство от противного: Иногда можно предположить, что тождество неверно, и прийти к логическому противоречию, что докажет истинность исходного утверждения.

Ответ: К более редким способам относятся доказательство с использованием геометрических построений, методов математического анализа (производные, интегралы) и доказательство от противного.

2.48 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x^2 + 2}$

б) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x - 4} - 2$

а) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x^2 + 2}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Знаменатель дроби $x^2 + 2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упростим выражение.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - 4x^2 + 2x - 8 = (x^3 - 4x^2) + (2x - 8) = x^2(x - 4) + 2(x - 4)$.

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 + 2)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x^2 + 2)}{x^2 + 2}$.

Так как $x^2 + 2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот множитель:

$y = x - 4$.

3. Построение графика.

Функция $y = x - 4$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• Пересечение с осью OX: при $y=0$, $0 = x - 4$, откуда $x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Графиком функции является прямая линия $y = x - 4$, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

б) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x - 4} - 2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Знаменатель дроби $x - 4$ обращается в ноль при $x = 4$. Это значение необходимо исключить из области определения.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упростим выражение.

Числитель дроби, как и в пункте а), равен $(x - 4)(x^2 + 2)$. Подставим его в функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x^2 + 2)}{x - 4} - 2$.

Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$y = (x^2 + 2) - 2$.

$y = x^2$.

3. Построение графика.

На всей области определения функция совпадает с функцией $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Однако, из-за ограничения $x \neq 4$, точка на графике, соответствующая этой абсциссе, должна быть исключена ("выколота"). Найдем координаты этой точки:

При $x = 4$, $y = 4^2 = 16$.

Таким образом, точка $(4, 16)$ не принадлежит графику функции.

Для построения параболы можно найти несколько точек:

• $x=0, y=0$ (вершина)
• $x=1, y=1$
• $x=-1, y=1$
• $x=2, y=4$
• $x=-2, y=4$

Строим параболу $y=x^2$ и отмечаем на ней выколотую точку $(4, 16)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(4, 16)$.

Выполните сложение или вычитание алгебраических дробей:

3.1 а) $ \frac{a}{5} + \frac{b}{5}; $

б) $ \frac{6}{p} - \frac{q}{p}; $

в) $ \frac{x}{12} - \frac{y}{12}; $

г) $ \frac{m}{n} + \frac{3}{n}. $

а) $\frac{a}{5} + \frac{b}{5}$

Чтобы сложить две алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае знаменатель равен 5.

$\frac{a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{a+b}{5}$

Ответ: $\frac{a+b}{5}$

б) $\frac{6}{p} - \frac{q}{p}$

Чтобы вычесть одну алгебраическую дробь из другой с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае знаменатель равен $p$.

$\frac{6}{p} - \frac{q}{p} = \frac{6-q}{p}$

Ответ: $\frac{6-q}{p}$

в) $\frac{x}{12} - \frac{y}{12}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель 12. Для выполнения вычитания вычтем числители, а знаменатель оставим прежним.

$\frac{x}{12} - \frac{y}{12} = \frac{x-y}{12}$

Ответ: $\frac{x-y}{12}$

г) $\frac{m}{n} + \frac{3}{n}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель $n$. Для выполнения сложения сложим числители, а знаменатель оставим прежним.

$\frac{m}{n} + \frac{3}{n} = \frac{m+3}{n}$

Ответ: $\frac{m+3}{n}$

3.2 a) $\frac{7a^2}{4x} + \frac{9a^2}{4x}$;

б) $\frac{x-y}{14} - \frac{x}{14}$;

в) $\frac{48p^8}{5n} - \frac{23p^8}{5n}$;

г) $\frac{c}{25} + \frac{d-c}{25}$.

а) $\frac{7a^2}{4x} + \frac{9a^2}{4x}$

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае общий знаменатель равен $4x$.

$\frac{7a^2}{4x} + \frac{9a^2}{4x} = \frac{7a^2 + 9a^2}{4x}$

Теперь сложим подобные слагаемые в числителе:

$7a^2 + 9a^2 = (7+9)a^2 = 16a^2$

Подставим результат обратно в дробь:

$\frac{16a^2}{4x}$

Сократим полученную дробь. Коэффициенты 16 и 4 делятся на 4:

$\frac{16a^2}{4x} = \frac{4 \cdot 4a^2}{4x} = \frac{4a^2}{x}$

Ответ: $\frac{4a^2}{x}$

б) $\frac{x-y}{14} - \frac{x}{14}$

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Общий знаменатель здесь равен 14.

$\frac{x-y}{14} - \frac{x}{14} = \frac{(x-y) - x}{14}$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:

$(x-y) - x = x - y - x = -y$

Подставим результат в дробь:

$\frac{-y}{14} = -\frac{y}{14}$

Ответ: $-\frac{y}{14}$

в) $\frac{48p^8}{5n} - \frac{23p^8}{5n}$

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $5n$. Выполним вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений.

$\frac{48p^8}{5n} - \frac{23p^8}{5n} = \frac{48p^8 - 23p^8}{5n}$

Вынесем общий множитель $p^8$ за скобки в числителе:

$48p^8 - 23p^8 = (48 - 23)p^8 = 25p^8$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{25p^8}{5n}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$\frac{25p^8}{5n} = \frac{5 \cdot 5p^8}{5n} = \frac{5p^8}{n}$

Ответ: $\frac{5p^8}{n}$

г) $\frac{c}{25} + \frac{d-c}{25}$

Знаменатели дробей одинаковы и равны 25. Сложим числители, а знаменатель оставим тем же.

$\frac{c}{25} + \frac{d-c}{25} = \frac{c + (d-c)}{25}$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:

$c + d - c = (c-c) + d = d$

Подставим результат обратно в дробь:

$\frac{d}{25}$

Ответ: $\frac{d}{25}$

3.3 a) $ \frac{a+b}{6a} - \frac{a-2b}{6a} $;

б) $ \frac{19-10x}{x^2} + \frac{3x-19}{x^2} $;

в) $ \frac{2a-b}{12b} + \frac{a+b}{12b} $;

г) $ \frac{7m+2n}{n^3} - \frac{7m-3n}{n^3} $.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Важно учесть, что знак минус перед дробью относится ко всему числителю.

$\frac{a + b}{6a} - \frac{a - 2b}{6a} = \frac{(a + b) - (a - 2b)}{6a}$

Раскроем скобки в числителе. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$\frac{a + b - a + 2b}{6a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a - a) + (b + 2b)}{6a} = \frac{0 + 3b}{6a} = \frac{3b}{6a}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель 3:

$\frac{3b}{6a} = \frac{b}{2a}$

Ответ: $\frac{b}{2a}$

б) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{19 - 10x}{x^2} + \frac{3x - 19}{x^2} = \frac{(19 - 10x) + (3x - 19)}{x^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{19 - 10x + 3x - 19}{x^2} = \frac{(19 - 19) + (-10x + 3x)}{x^2} = \frac{0 - 7x}{x^2} = \frac{-7x}{x^2}$

Сократим полученную дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{-7x}{x^2} = -\frac{7}{x}$

Ответ: $-\frac{7}{x}$

в) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями складываем их числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{2a - b}{12b} + \frac{a + b}{12b} = \frac{(2a - b) + (a + b)}{12b}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a - b + a + b}{12b} = \frac{(2a + a) + (-b + b)}{12b} = \frac{3a + 0}{12b} = \frac{3a}{12b}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{3a}{12b} = \frac{a}{4b}$

Ответ: $\frac{a}{4b}$

г) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями вычитаем их числители. Знак минус перед второй дробью изменяет знаки в ее числителе на противоположные.

$\frac{7m + 2n}{n^3} - \frac{7m - 3n}{n^3} = \frac{(7m + 2n) - (7m - 3n)}{n^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{7m + 2n - 7m + 3n}{n^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(7m - 7m) + (2n + 3n)}{n^3} = \frac{0 + 5n}{n^3} = \frac{5n}{n^3}$

Сократим полученную дробь на $n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{5n}{n^3} = \frac{5}{n^2}$

Ответ: $\frac{5}{n^2}$

3.4 a) $\frac{7p - 13}{10p} - \frac{2p - 3}{10p};$

б) $\frac{b - 7a}{2ab} - \frac{b - a}{2ab};$

в) $\frac{3x + 7y}{24y} + \frac{3x - 4y}{24y};$

г) $-\frac{2x - 3c}{4cx} + \frac{2x + 5c}{4cx}.$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.
$\frac{7p - 13}{10p} - \frac{2p - 3}{10p} = \frac{(7p - 13) - (2p - 3)}{10p}$
Раскроем скобки в числителе, изменив знаки слагаемых в скобках на противоположные:
$= \frac{7p - 13 - 2p + 3}{10p}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$= \frac{(7p - 2p) + (-13 + 3)}{10p} = \frac{5p - 10}{10p}$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе, чтобы проверить возможность сокращения дроби:
$= \frac{5(p - 2)}{10p}$
Сократим числитель и знаменатель на 5:
$= \frac{p - 2}{2p}$
Ответ: $\frac{p - 2}{2p}$

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $2ab$. Выполним вычитание числителей:
$\frac{b - 7a}{2ab} - \frac{b - a}{2ab} = \frac{(b - 7a) - (b - a)}{2ab}$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:
$= \frac{b - 7a - b + a}{2ab}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$= \frac{(b - b) + (-7a + a)}{2ab} = \frac{-6a}{2ab}$
Сократим полученную дробь на общий множитель $2a$:
$= \frac{-3 \cdot 2a}{b \cdot 2a} = -\frac{3}{b}$
Ответ: $-\frac{3}{b}$

в) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{3x + 7y}{24y} + \frac{3x - 4y}{24y} = \frac{(3x + 7y) + (3x - 4y)}{24y}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$= \frac{3x + 7y + 3x - 4y}{24y} = \frac{(3x + 3x) + (7y - 4y)}{24y} = \frac{6x + 3y}{24y}$
Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:
$= \frac{3(2x + y)}{24y}$
Сократим дробь на 3:
$= \frac{2x + y}{8y}$
Ответ: $\frac{2x + y}{8y}$

г) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $4cx$. Для удобства можно поменять дроби местами или сразу учесть знак минус перед первой дробью. Объединим числители под общим знаменателем:
$-\frac{2x - 3c}{4cx} + \frac{2x + 5c}{4cx} = \frac{-(2x - 3c) + (2x + 5c)}{4cx} = \frac{-2x + 3c + 2x + 5c}{4cx}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$= \frac{(-2x + 2x) + (3c + 5c)}{4cx} = \frac{8c}{4cx}$
Сократим полученную дробь на общий множитель $4c$:
$= \frac{2 \cdot 4c}{x \cdot 4c} = \frac{2}{x}$
Ответ: $\frac{2}{x}$