Номер 2.48, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.48, страница 25.

Условие.

2.48 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x^2 + 2}$

б) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x - 4} - 2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x^2 + 2}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Знаменатель дроби $x^2 + 2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упростим выражение.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - 4x^2 + 2x - 8 = (x^3 - 4x^2) + (2x - 8) = x^2(x - 4) + 2(x - 4)$.

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 + 2)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x^2 + 2)}{x^2 + 2}$.

Так как $x^2 + 2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот множитель:

$y = x - 4$.

3. Построение графика.

Функция $y = x - 4$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• Пересечение с осью OX: при $y=0$, $0 = x - 4$, откуда $x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Графиком функции является прямая линия $y = x - 4$, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

б) $y = \frac{x^3 - 4x^2 + 2x - 8}{x - 4} - 2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Знаменатель дроби $x - 4$ обращается в ноль при $x = 4$. Это значение необходимо исключить из области определения.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упростим выражение.

Числитель дроби, как и в пункте а), равен $(x - 4)(x^2 + 2)$. Подставим его в функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x^2 + 2)}{x - 4} - 2$.

Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$y = (x^2 + 2) - 2$.

$y = x^2$.

3. Построение графика.

На всей области определения функция совпадает с функцией $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Однако, из-за ограничения $x \neq 4$, точка на графике, соответствующая этой абсциссе, должна быть исключена ("выколота"). Найдем координаты этой точки:

При $x = 4$, $y = 4^2 = 16$.

Таким образом, точка $(4, 16)$ не принадлежит графику функции.

Для построения параболы можно найти несколько точек:

• $x=0, y=0$ (вершина)
• $x=1, y=1$
• $x=-1, y=1$
• $x=2, y=4$
• $x=-2, y=4$

Строим параболу $y=x^2$ и отмечаем на ней выколотую точку $(4, 16)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(4, 16)$.