Номер 2.42, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.42, страница 23.

Условие.

2.42 а) $\frac{a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$, $\frac{a - 1}{a^2 + a + 1}$ и $\frac{1}{a - 1}$;

б) $\frac{4}{3(x - y)}$, $\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}$ и $\frac{3xy}{x^3 - y^3}$;

в) $\frac{b - 2}{b^2 - 2b + 4}$, $\frac{2b}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}$ и $\frac{2}{b + 2}$;

г) $\frac{a + b}{a^2 - ab + b^2}$, $\frac{5ab}{a^3 + b^3}$ и $\frac{3}{4(a + b)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Задача состоит в приведении алгебраических дробей к общему знаменателю. Для этого необходимо разложить знаменатели на множители, найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) и домножить каждую дробь на соответствующий дополнительный множитель.

а) Даны дроби: $ \frac{a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $, $ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} $ и $ \frac{1}{a - 1} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $. Используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $, видим, что это $ a^3 - 1^3 = a^3 - 1 $.
Знаменатель второй дроби: $ a^2 + a + 1 $.
Знаменатель третьей дроби: $ a - 1 $.

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители из всех знаменателей.
НОЗ = $ (a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1 $.

3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби дополнительный множитель равен 1, так как ее знаменатель уже является НОЗ.
Для второй дроби: $ \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a^2 + a + 1} = a - 1 $.
Для третьей дроби: $ \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a - 1} = a^2 + a + 1 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a}{a^3 - 1} $.
Вторая дробь: $ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} = \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} = \frac{(a - 1)^2}{a^3 - 1} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 - 1} $.
Третья дробь: $ \frac{1}{a - 1} = \frac{1 \cdot (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} $.

Ответ: $ \frac{a}{a^3 - 1} $, $ \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 - 1} $, $ \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} $.

б) Даны дроби: $ \frac{4}{3(x - y)} $, $ \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} $ и $ \frac{3xy}{x^3 - y^3} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ 3(x - y) $.
Знаменатель второй дроби: $ x^2 + xy + y^2 $.
Знаменатель третьей дроби: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $ (формула разности кубов).

2. Найдем НОЗ. Он должен включать множители $ 3 $, $ (x - y) $ и $ (x^2 + xy + y^2) $.
НОЗ = $ 3(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 3(x^3 - y^3) $.

3. Найдем дополнительные множители.
Для первой дроби: $ \frac{3(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{3(x - y)} = x^2 + xy + y^2 $.
Для второй дроби: $ \frac{3(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = 3(x - y) $.
Для третьей дроби: $ \frac{3(x^3 - y^3)}{x^3 - y^3} = 3 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{4}{3(x - y)} = \frac{4(x^2 + xy + y^2)}{3(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{4x^2 + 4xy + 4y^2}{3(x^3 - y^3)} $.
Вторая дробь: $ \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x + y) \cdot 3(x - y)}{(x^2 + xy + y^2) \cdot 3(x - y)} = \frac{3(x^2 - y^2)}{3(x^3 - y^3)} = \frac{3x^2 - 3y^2}{3(x^3 - y^3)} $.
Третья дробь: $ \frac{3xy}{x^3 - y^3} = \frac{3xy \cdot 3}{3(x^3 - y^3)} = \frac{9xy}{3(x^3 - y^3)} $.

Ответ: $ \frac{4x^2 + 4xy + 4y^2}{3(x^3 - y^3)} $, $ \frac{3x^2 - 3y^2}{3(x^3 - y^3)} $, $ \frac{9xy}{3(x^3 - y^3)} $.

в) Даны дроби: $ \frac{b - 2}{b^2 - 2b + 4} $, $ \frac{2b}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} $ и $ \frac{2}{b + 2} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ b^2 - 2b + 4 $.
Знаменатель второй дроби: $ (b + 2)(b^2 - 2b + 4) $. Используя формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $, видим, что это $ b^3 + 2^3 = b^3 + 8 $.
Знаменатель третьей дроби: $ b + 2 $.

2. Найдем НОЗ.
НОЗ = $ (b + 2)(b^2 - 2b + 4) = b^3 + 8 $.

3. Найдем дополнительные множители.
Для первой дроби: $ \frac{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}{b^2 - 2b + 4} = b + 2 $.
Для второй дроби дополнительный множитель равен 1.
Для третьей дроби: $ \frac{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}{b + 2} = b^2 - 2b + 4 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{b - 2}{b^2 - 2b + 4} = \frac{(b - 2)(b + 2)}{(b^2 - 2b + 4)(b + 2)} = \frac{b^2 - 4}{b^3 + 8} $.
Вторая дробь: $ \frac{2b}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{2b}{b^3 + 8} $.
Третья дробь: $ \frac{2}{b + 2} = \frac{2(b^2 - 2b + 4)}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{2b^2 - 4b + 8}{b^3 + 8} $.

Ответ: $ \frac{b^2 - 4}{b^3 + 8} $, $ \frac{2b}{b^3 + 8} $, $ \frac{2b^2 - 4b + 8}{b^3 + 8} $.

г) Даны дроби: $ \frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} $, $ \frac{5ab}{a^3 + b^3} $ и $ \frac{3}{4(a + b)} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ a^2 - ab + b^2 $.
Знаменатель второй дроби: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ (формула суммы кубов).
Знаменатель третьей дроби: $ 4(a + b) $.

2. Найдем НОЗ. Он должен включать множители $ 4 $, $ (a + b) $ и $ (a^2 - ab + b^2) $.
НОЗ = $ 4(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 4(a^3 + b^3) $.

3. Найдем дополнительные множители.
Для первой дроби: $ \frac{4(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} = 4(a + b) $.
Для второй дроби: $ \frac{4(a^3 + b^3)}{a^3 + b^3} = 4 $.
Для третьей дроби: $ \frac{4(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{4(a + b)} = a^2 - ab + b^2 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} = \frac{(a + b) \cdot 4(a + b)}{4(a^3 + b^3)} = \frac{4(a + b)^2}{4(a^3 + b^3)} = \frac{4(a^2 + 2ab + b^2)}{4(a^3 + b^3)} = \frac{4a^2 + 8ab + 4b^2}{4(a^3 + b^3)} $.
Вторая дробь: $ \frac{5ab}{a^3 + b^3} = \frac{5ab \cdot 4}{4(a^3 + b^3)} = \frac{20ab}{4(a^3 + b^3)} $.
Третья дробь: $ \frac{3}{4(a + b)} = \frac{3(a^2 - ab + b^2)}{4(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{3a^2 - 3ab + 3b^2}{4(a^3 + b^3)} $.

Ответ: $ \frac{4a^2 + 8ab + 4b^2}{4(a^3 + b^3)} $, $ \frac{20ab}{4(a^3 + b^3)} $, $ \frac{3a^2 - 3ab + 3b^2}{4(a^3 + b^3)} $.