Номер 2.47, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.47, страница 24.

Условие.

2.47 Докажите, что если в дроби $ \frac{a^3 - 2b^3}{3a^3 - a^2b - 4ab^2} $ переменные $a$ и $b$ заменить соответственно на $pa$ и $pb$, то получим дробь, тождественно равную данной.

Используя доказанное тождество, найдите значение заданной дроби при:

a) $a = \frac{5}{113}$, $b = \frac{4}{113}$;

б) $a = 65$, $b = 52$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Доказательство тождества:

Обозначим исходную дробь как $ D $.

$ D = \frac{a^3 - 2b^3}{3a^3 - a^2b - 4ab^2} $

Теперь заменим в этой дроби переменные $ a $ на $ pa $ и $ b $ на $ pb $, где $ p $ — некоторое число, не равное нулю. Получим новую дробь $ D' $:

$ D' = \frac{(pa)^3 - 2(pb)^3}{3(pa)^3 - (pa)^2(pb) - 4(pa)(pb)^2} $

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби, раскрыв скобки:

Числитель: $ (pa)^3 - 2(pb)^3 = p^3a^3 - 2p^3b^3 = p^3(a^3 - 2b^3) $

Знаменатель: $ 3(pa)^3 - (pa)^2(pb) - 4(pa)(pb)^2 = 3p^3a^3 - p^2a^2pb - 4pap^2b^2 = 3p^3a^3 - p^3a^2b - 4p^3ab^2 = p^3(3a^3 - a^2b - 4ab^2) $

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь $ D' $:

$ D' = \frac{p^3(a^3 - 2b^3)}{p^3(3a^3 - a^2b - 4ab^2)} $

Поскольку $ p \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ p^3 $:

$ D' = \frac{a^3 - 2b^3}{3a^3 - a^2b - 4ab^2} $

Таким образом, $ D' = D $, что и требовалось доказать. Значение дроби не меняется, если ее переменные умножить на одно и то же число, не равное нулю. Это означает, что значение дроби зависит только от отношения $ \frac{a}{b} $.

Использование тождества для нахождения значения дроби:

а) при $ a = \frac{5}{113} $, $ b = \frac{4}{113} $

Заметим, что данные значения $ a $ и $ b $ можно представить в виде $ a = 5 \cdot \frac{1}{113} $ и $ b = 4 \cdot \frac{1}{113} $. Согласно доказанному тождеству, мы можем взять $ p = \frac{1}{113} $ и вычислить значение дроби для более простых значений $ a' = 5 $ и $ b' = 4 $. Результат будет тем же.

Подставим $ a = 5 $ и $ b = 4 $ в исходное выражение:

$ \frac{5^3 - 2 \cdot 4^3}{3 \cdot 5^3 - 5^2 \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot 4^2} = \frac{125 - 2 \cdot 64}{3 \cdot 125 - 25 \cdot 4 - 20 \cdot 16} = \frac{125 - 128}{375 - 100 - 320} = \frac{-3}{275 - 320} = \frac{-3}{-45} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $

б) при $ a = 65 $, $ b = 52 $

Найдем наибольший общий делитель для чисел 65 и 52.

$ 65 = 5 \cdot 13 $

$ 52 = 4 \cdot 13 $

Общий множитель равен 13. Мы можем представить $ a $ и $ b $ как $ a = 5 \cdot 13 $ и $ b = 4 \cdot 13 $. Согласно доказанному тождеству, мы можем взять $ p = 13 $ и вычислить значение дроби для значений $ a' = 5 $ и $ b' = 4 $.

Эти значения совпадают со значениями из пункта а), следовательно, вычисления и результат будут идентичными.

$ \frac{5^3 - 2 \cdot 4^3}{3 \cdot 5^3 - 5^2 \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot 4^2} = \frac{-3}{-45} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $