Номер 2.44, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.44, страница 24.

Условие.

2.44 a) $\frac{1}{(z-3)^2}$, $\frac{z^2+9}{z^2-9}$ и $\frac{1}{(z+3)^2}$;

б) $\frac{x^2+25}{25-x^2}$, $\frac{x+5}{(x-5)^2}$ и $\frac{x-5}{(x+5)^2}$;

в) $\frac{2}{(t+2)^2}$, $\frac{t}{(t-2)^2}$ и $\frac{t^2+4}{t^2-4}$;

г) $\frac{y+1}{(1-y)^2}$, $\frac{1-y}{(1+y)^2}$ и $\frac{y^2+1}{y^2-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{1}{(z-3)^2}$, $\frac{z^2+9}{z^2-9}$ и $\frac{1}{(z+3)^2}$ к общему знаменателю, выполним следующие действия.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби $(z-3)^2$ уже разложен.
Знаменатель второй дроби $z^2-9$ является разностью квадратов: $z^2-9 = (z-3)(z+3)$.
Знаменатель третьей дроби $(z+3)^2$ уже разложен.

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он должен содержать каждый множитель в наивысшей степени.
Множитель $(z-3)$ встречается в степени 2.
Множитель $(z+3)$ встречается в степени 2.
Следовательно, НОЗ = $(z-3)^2(z+3)^2$.

3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби и преобразуем их.
Для дроби $\frac{1}{(z-3)^2}$ дополнительный множитель: $(z+3)^2$.
$\frac{1}{(z-3)^2} = \frac{1 \cdot (z+3)^2}{(z-3)^2(z+3)^2} = \frac{z^2+6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

Для дроби $\frac{z^2+9}{z^2-9} = \frac{z^2+9}{(z-3)(z+3)}$ дополнительный множитель: $(z-3)(z+3) = z^2-9$.
$\frac{z^2+9}{(z-3)(z+3)} = \frac{(z^2+9)(z^2-9)}{(z-3)(z+3)(z-3)(z+3)} = \frac{z^4-81}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

Для дроби $\frac{1}{(z+3)^2}$ дополнительный множитель: $(z-3)^2$.
$\frac{1}{(z+3)^2} = \frac{1 \cdot (z-3)^2}{(z+3)^2(z-3)^2} = \frac{z^2-6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

Ответ: $\frac{z^2+6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$, $\frac{z^4-81}{(z-3)^2(z+3)^2}$, $\frac{z^2-6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

б)

Приведем дроби $\frac{x^2+25}{25-x^2}$, $\frac{x+5}{(x-5)^2}$ и $\frac{x-5}{(x+5)^2}$ к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $25-x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.
Знаменатель второй дроби $(x-5)^2$ уже разложен.
Знаменатель третьей дроби $(x+5)^2$ уже разложен.

2. Найдем НОЗ. Он должен содержать множители $(x-5)$ и $(x+5)$ в наивысших степенях.
НОЗ = $(x-5)^2(x+5)^2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{x^2+25}{25-x^2} = \frac{x^2+25}{-(x-5)(x+5)}$ дополнительный множитель: $\frac{(x-5)^2(x+5)^2}{-(x-5)(x+5)} = -(x-5)(x+5) = -(x^2-25) = 25-x^2$.
$\frac{x^2+25}{25-x^2} = \frac{(x^2+25)(-(x-5)(x+5))}{(25-x^2)(-(x-5)(x+5))} = \frac{-(x^2+25)(x^2-25)}{(x-5)^2(x+5)^2} = \frac{-(x^4-625)}{(x-5)^2(x+5)^2} = \frac{625-x^4}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

Для дроби $\frac{x+5}{(x-5)^2}$ дополнительный множитель: $(x+5)^2$.
$\frac{x+5}{(x-5)^2} = \frac{(x+5)(x+5)^2}{(x-5)^2(x+5)^2} = \frac{(x+5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

Для дроби $\frac{x-5}{(x+5)^2}$ дополнительный множитель: $(x-5)^2$.
$\frac{x-5}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)(x-5)^2}{(x+5)^2(x-5)^2} = \frac{(x-5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

Ответ: $\frac{625-x^4}{(x-5)^2(x+5)^2}$, $\frac{(x+5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$, $\frac{(x-5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

в)

Приведем дроби $\frac{2}{(t+2)^2}$, $\frac{t}{(t-2)^2}$ и $\frac{t^2+4}{t^2-4}$ к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби $(t+2)^2$ уже разложен.
Знаменатель второй дроби $(t-2)^2$ уже разложен.
Знаменатель третьей дроби $t^2-4$ разлагается как разность квадратов: $t^2-4=(t-2)(t+2)$.

2. Найдем НОЗ. Он должен содержать множители $(t-2)$ и $(t+2)$ в наивысших степенях.
НОЗ = $(t-2)^2(t+2)^2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{2}{(t+2)^2}$ дополнительный множитель: $(t-2)^2$.
$\frac{2}{(t+2)^2} = \frac{2(t-2)^2}{(t+2)^2(t-2)^2} = \frac{2(t^2-4t+4)}{(t-2)^2(t+2)^2} = \frac{2t^2-8t+8}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

Для дроби $\frac{t}{(t-2)^2}$ дополнительный множитель: $(t+2)^2$.
$\frac{t}{(t-2)^2} = \frac{t(t+2)^2}{(t-2)^2(t+2)^2} = \frac{t(t^2+4t+4)}{(t-2)^2(t+2)^2} = \frac{t^3+4t^2+4t}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

Для дроби $\frac{t^2+4}{t^2-4} = \frac{t^2+4}{(t-2)(t+2)}$ дополнительный множитель: $(t-2)(t+2) = t^2-4$.
$\frac{t^2+4}{(t-2)(t+2)} = \frac{(t^2+4)(t^2-4)}{(t-2)(t+2)(t-2)(t+2)} = \frac{t^4-16}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

Ответ: $\frac{2t^2-8t+8}{(t-2)^2(t+2)^2}$, $\frac{t^3+4t^2+4t}{(t-2)^2(t+2)^2}$, $\frac{t^4-16}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

г)

Приведем дроби $\frac{y+1}{(1-y)^2}$, $\frac{1-y}{(1+y)^2}$ и $\frac{y^2+1}{y^2-1}$ к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители. Заметим, что $(1-y)^2 = (-(y-1))^2 = (y-1)^2$. Для удобства будем использовать множители $(1-y)$ и $(1+y)$.
Знаменатель первой дроби: $(1-y)^2$.
Знаменатель второй дроби: $(1+y)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $y^2-1 = (y-1)(y+1) = -(1-y)(1+y)$.

2. Найдем НОЗ. Он должен содержать множители $(1-y)$ и $(1+y)$ в наивысших степенях.
НОЗ = $(1-y)^2(1+y)^2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{y+1}{(1-y)^2}$ дополнительный множитель: $(1+y)^2$.
$\frac{y+1}{(1-y)^2} = \frac{(y+1)(1+y)^2}{(1-y)^2(1+y)^2} = \frac{(1+y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

Для дроби $\frac{1-y}{(1+y)^2}$ дополнительный множитель: $(1-y)^2$.
$\frac{1-y}{(1+y)^2} = \frac{(1-y)(1-y)^2}{(1+y)^2(1-y)^2} = \frac{(1-y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

Для дроби $\frac{y^2+1}{y^2-1} = \frac{y^2+1}{-(1-y)(1+y)}$ дополнительный множитель: $\frac{(1-y)^2(1+y)^2}{-(1-y)(1+y)} = -(1-y)(1+y) = y^2-1$.
$\frac{y^2+1}{y^2-1} = \frac{(y^2+1)(y^2-1)}{(y^2-1)(y^2-1)} = \frac{y^4-1}{(y^2-1)^2} = \frac{y^4-1}{((y-1)(y+1))^2} = \frac{y^4-1}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

Ответ: $\frac{(1+y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$, $\frac{(1-y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$, $\frac{y^4-1}{(1-y)^2(1+y)^2}$.