Номер 2.45, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.45, страница 24.

Условие.

2.45 a) $\frac{2mn}{3n^2 - 3m^2}$, $\frac{m^2}{m^2 - 2mn + n^2}$ И $\frac{n^2}{m^2 + 2mn + n^2}$;

б) $\frac{2mn}{3n^2 - 3m^2}$, $\frac{(m+n)^2}{-m^2 + 2mn - n^2}$ И $\frac{(m-n)^2}{2mn + m^2 + n^2}$;

в) $\frac{5xy}{2y^2 - 2x^2}$, $\frac{x^2}{x^2 + 2xy + y^2}$ И $\frac{3y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$;

г) $\frac{6x}{5x^2 - 45}$, $\frac{(x-3)^2}{-x^2 - 6x - 9}$ И $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 9 - 6x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат разности/суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Знаменатель первой дроби: $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m)$.
Знаменатель второй дроби: $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$.
Заметим, что $(m - n)^2 = (-(n-m))^2 = (n - m)^2$.
Знаменатели в разложенном виде: $3(n - m)(n + m)$, $(n - m)^2$, $(n + m)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в их наивысших степенях: НОЗ = $3(n - m)^2(n + m)^2$.
Приведем каждую дробь к этому знаменателю, находя для каждой дополнительный множитель.
1. Для дроби $\frac{2mn}{3(n - m)(n + m)}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{3(n - m)(n + m)} = (n-m)(n+m) = n^2-m^2$.
$\frac{2mn \cdot (n - m)(n + m)}{3(n - m)(n + m) \cdot (n - m)(n + m)} = \frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
2. Для дроби $\frac{m^2}{(m - n)^2} = \frac{m^2}{(n - m)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{(n-m)^2} = 3(n + m)^2$.
$\frac{m^2 \cdot 3(n + m)^2}{(n - m)^2 \cdot 3(n + m)^2} = \frac{3m^2(n + m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
3. Для дроби $\frac{n^2}{(m + n)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{(n + m)^2} = 3(n - m)^2$.
$\frac{n^2 \cdot 3(n - m)^2}{(n + m)^2 \cdot 3(n - m)^2} = \frac{3n^2(n - m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
Ответ: $\frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{3m^2(n + m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{3n^2(n - m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.

б) Разложим знаменатели дробей на множители.
Знаменатель первой дроби: $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m)$.
Знаменатель второй дроби: $-m^2 + 2mn - n^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) = -(m - n)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $2mn + m^2 + n^2 = (m + n)^2$.
Знаменатели: $3(n - m)(n + m)$, $-(m - n)^2 = -(n-m)^2$, $(m + n)^2 = (n+m)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $3(n - m)^2(n + m)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю.
1. Для дроби $\frac{2mn}{3(n - m)(n + m)}$ дополнительный множитель: $(n - m)(n + m) = n^2 - m^2$.
$\frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
2. Для дроби $\frac{(m + n)^2}{-(m - n)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{-(m - n)^2} = -3(n+m)^2$.
$\frac{(m + n)^2 \cdot (-3(n + m)^2)}{-(m - n)^2 \cdot (-3(n + m)^2)} = \frac{-3(m + n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
3. Для дроби $\frac{(m - n)^2}{(m + n)^2}$ дополнительный множитель: $3(m - n)^2$.
$\frac{(m - n)^2 \cdot 3(m - n)^2}{(m + n)^2 \cdot 3(m - n)^2} = \frac{3(m - n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
Ответ: $\frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{-3(m + n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{3(m - n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.

в) Разложим знаменатели дробей на множители.
Знаменатель первой дроби: $2y^2 - 2x^2 = 2(y^2 - x^2) = 2(y - x)(y + x) = -2(x - y)(x + y)$.
Знаменатель второй дроби: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $2(x - y)^2(x + y)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю.
1. Для дроби $\frac{5xy}{-2(x - y)(x + y)}$ дополнительный множитель: $\frac{2(x - y)^2(x + y)^2}{-2(x - y)(x + y)} = -(x-y)(x+y) = y^2-x^2$.
$\frac{5xy \cdot (-(x - y)(x + y))}{-2(x - y)(x + y) \cdot (-(x - y)(x + y))} = \frac{-5xy(x^2 - y^2)}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.
2. Для дроби $\frac{x^2}{(x + y)^2}$ дополнительный множитель: $2(x - y)^2$.
$\frac{x^2 \cdot 2(x - y)^2}{(x + y)^2 \cdot 2(x - y)^2} = \frac{2x^2(x - y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.
3. Для дроби $\frac{3y^2}{(x - y)^2}$ дополнительный множитель: $2(x + y)^2$.
$\frac{3y^2 \cdot 2(x + y)^2}{(x - y)^2 \cdot 2(x + y)^2} = \frac{6y^2(x + y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.
Ответ: $\frac{-5xy(x^2 - y^2)}{2(x - y)^2(x + y)^2}$, $\frac{2x^2(x - y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$, $\frac{6y^2(x + y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.

г) Разложим числители и знаменатели дробей на множители.
Первая дробь: $\frac{6x}{5x^2 - 45} = \frac{6x}{5(x^2 - 9)} = \frac{6x}{5(x - 3)(x + 3)}$.
Вторая дробь: $\frac{(x - 3)^2}{-x^2 - 6x - 9} = \frac{(x - 3)^2}{-(x^2 + 6x + 9)} = \frac{(x - 3)^2}{-(x + 3)^2}$.
Третья дробь: $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 9 - 6x} = \frac{(x + 3)^2}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2}$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $5(x - 3)(x + 3)$, $-(x + 3)^2$ и $(x - 3)^2$ равен $5(x - 3)^2(x + 3)^2$.
Приведем дроби к НОЗ.
1. Для дроби $\frac{6x}{5(x - 3)(x + 3)}$ дополнительный множитель: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$.
$\frac{6x \cdot (x^2 - 9)}{5(x - 3)(x + 3) \cdot (x^2 - 9)} = \frac{6x(x^2 - 9)}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.
2. Для дроби $\frac{(x - 3)^2}{-(x + 3)^2}$ дополнительный множитель: $-5(x - 3)^2$.
$\frac{(x - 3)^2 \cdot (-5(x - 3)^2)}{-(x + 3)^2 \cdot (-5(x - 3)^2)} = \frac{-5(x - 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.
3. Для дроби $\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2}$ дополнительный множитель: $5(x + 3)^2$.
$\frac{(x + 3)^2 \cdot 5(x + 3)^2}{(x - 3)^2 \cdot 5(x + 3)^2} = \frac{5(x + 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.
Ответ: $\frac{6x(x^2 - 9)}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$, $\frac{-5(x - 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$, $\frac{5(x + 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.