Номер 2.41, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.41, страница 23.

Условие.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

2.41 a) $\frac{x^2+5}{4-x^2}$, $\frac{x+1}{x+2}$ и $\frac{x-1}{x-2}$;

б) $\frac{10xy}{4x^2-y^2}$, $\frac{2x}{-2x-y}$ и $\frac{5y}{y-2x}$;

в) $\frac{p^2+1}{p^2-9}$, $\frac{p-1}{p+3}$ и $\frac{p+1}{3-p}$;

г) $\frac{3q}{q-3p}$, $\frac{6pq}{9p^2-q^2}$ и $\frac{2p}{-q-3p}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы привести дроби $ \frac{x^2 + 5}{4 - x^2} $, $ \frac{x + 1}{x + 2} $ и $ \frac{x - 1}{x - 2} $ к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) $. Для удобства представим $ (2 - x) $ как $ -(x - 2) $. Таким образом, $ 4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2) $.
Знаменатель второй дроби: $ x + 2 $.
Знаменатель третьей дроби: $ x - 2 $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет произведением всех уникальных множителей: $ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 $.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю:

1. $ \frac{x^2 + 5}{4 - x^2} = \frac{x^2 + 5}{-(x^2 - 4)} = \frac{-(x^2 + 5)}{x^2 - 4} = \frac{-x^2 - 5}{x^2 - 4} $.

2. Для второй дроби $ \frac{x + 1}{x + 2} $ дополнительный множитель равен $ (x - 2) $:
$ \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^2 - 2x + x - 2}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} $.

3. Для третьей дроби $ \frac{x - 1}{x - 2} $ дополнительный множитель равен $ (x + 2) $:
$ \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x - x - 2}{x^2 - 4} = \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} $.

Ответ: $ \frac{-x^2 - 5}{x^2 - 4} $, $ \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} $, $ \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} $.

б)

Приведем дроби $ \frac{10xy}{4x^2 - y^2} $, $ \frac{2x}{-2x - y} $ и $ \frac{5y}{y - 2x} $ к НОЗ.

Разложим знаменатели на множители:
$ 4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y) $.
$ -2x - y = -(2x + y) $.
$ y - 2x = -(2x - y) $.

НОЗ равен $ (2x - y)(2x + y) = 4x^2 - y^2 $.

Приводим дроби к НОЗ:

1. Первая дробь $ \frac{10xy}{4x^2 - y^2} $ уже имеет требуемый знаменатель.

2. $ \frac{2x}{-2x - y} = \frac{2x}{-(2x + y)} = -\frac{2x}{2x + y} $. Домножаем на $ (2x - y) $:
$ -\frac{2x(2x - y)}{(2x + y)(2x - y)} = -\frac{4x^2 - 2xy}{4x^2 - y^2} = \frac{2xy - 4x^2}{4x^2 - y^2} $.

3. $ \frac{5y}{y - 2x} = \frac{5y}{-(2x - y)} = -\frac{5y}{2x - y} $. Домножаем на $ (2x + y) $:
$ -\frac{5y(2x + y)}{(2x - y)(2x + y)} = -\frac{10xy + 5y^2}{4x^2 - y^2} = \frac{-10xy - 5y^2}{4x^2 - y^2} $.

Ответ: $ \frac{10xy}{4x^2 - y^2} $, $ \frac{2xy - 4x^2}{4x^2 - y^2} $, $ \frac{-10xy - 5y^2}{4x^2 - y^2} $.

в)

Приведем дроби $ \frac{p^2 + 1}{p^2 - 9} $, $ \frac{p - 1}{p + 3} $ и $ \frac{p + 1}{3 - p} $ к НОЗ.

Разложим знаменатели на множители:
$ p^2 - 9 = (p - 3)(p + 3) $.
$ p + 3 $.
$ 3 - p = -(p - 3) $.

НОЗ равен $ (p - 3)(p + 3) = p^2 - 9 $.

Приводим дроби к НОЗ:

1. Первая дробь $ \frac{p^2 + 1}{p^2 - 9} $ уже имеет требуемый знаменатель.

2. Для дроби $ \frac{p - 1}{p + 3} $ дополнительный множитель $ (p - 3) $:
$ \frac{(p - 1)(p - 3)}{(p + 3)(p - 3)} = \frac{p^2 - 3p - p + 3}{p^2 - 9} = \frac{p^2 - 4p + 3}{p^2 - 9} $.

3. $ \frac{p + 1}{3 - p} = \frac{p + 1}{-(p - 3)} = -\frac{p + 1}{p - 3} $. Домножаем на $ (p + 3) $:
$ -\frac{(p + 1)(p + 3)}{(p - 3)(p + 3)} = -\frac{p^2 + 3p + p + 3}{p^2 - 9} = \frac{-(p^2 + 4p + 3)}{p^2 - 9} = \frac{-p^2 - 4p - 3}{p^2 - 9} $.

Ответ: $ \frac{p^2 + 1}{p^2 - 9} $, $ \frac{p^2 - 4p + 3}{p^2 - 9} $, $ \frac{-p^2 - 4p - 3}{p^2 - 9} $.

г)

Приведем дроби $ \frac{3q}{q - 3p} $, $ \frac{6pq}{9p^2 - q^2} $ и $ \frac{2p}{-q - 3p} $ к НОЗ.

Разложим знаменатели на множители:
$ q - 3p = -(3p - q) $.
$ 9p^2 - q^2 = (3p - q)(3p + q) $.
$ -q - 3p = -(q + 3p) = -(3p + q) $.

НОЗ равен $ (3p - q)(3p + q) = 9p^2 - q^2 $.

Приводим дроби к НОЗ:

1. $ \frac{3q}{q - 3p} = \frac{3q}{-(3p - q)} = -\frac{3q}{3p - q} $. Домножаем на $ (3p + q) $:
$ -\frac{3q(3p + q)}{(3p - q)(3p + q)} = -\frac{9pq + 3q^2}{9p^2 - q^2} = \frac{-9pq - 3q^2}{9p^2 - q^2} $.

2. Вторая дробь $ \frac{6pq}{9p^2 - q^2} $ уже имеет требуемый знаменатель.

3. $ \frac{2p}{-q - 3p} = \frac{2p}{-(q + 3p)} = -\frac{2p}{3p + q} $. Домножаем на $ (3p - q) $:
$ -\frac{2p(3p - q)}{(3p + q)(3p - q)} = -\frac{6p^2 - 2pq}{9p^2 - q^2} = \frac{2pq - 6p^2}{9p^2 - q^2} $.

Ответ: $ \frac{-9pq - 3q^2}{9p^2 - q^2} $, $ \frac{6pq}{9p^2 - q^2} $, $ \frac{2pq - 6p^2}{9p^2 - q^2} $.