Номер 2.38, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.38, страница 23.

Условие.

2.38 a) $\frac{2}{s+t}$, $\frac{s+t}{t}$ И $\frac{s-t}{s}$;

б) $\frac{m}{(m+n)}$, $\frac{n}{m}$ И $(m+n)$;

в) $\frac{a+b}{a^2}$, $\frac{a-b}{3a}$ И $\frac{b^2}{a+b}$;

г) $\frac{a}{a-b}$, $\frac{b}{2a}$ И $(b+a)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Даны дроби: $\frac{2}{s+t}$, $\frac{s+t}{t}$ и $\frac{s-t}{s}$.

Знаменатели этих дробей: $(s+t)$, $t$ и $s$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). В данном случае знаменатели являются различными множителями, не имеющими общих делителей (кроме 1). Поэтому НОЗ равен их произведению: $s \cdot t \cdot (s+t)$.

Далее найдем для каждой дроби дополнительный множитель и приведем ее к новому знаменателю.

1. Для дроби $\frac{2}{s+t}$ дополнительный множитель равен $\frac{st(s+t)}{s+t} = st$. Умножаем числитель и знаменатель на $st$:
$\frac{2}{s+t} = \frac{2 \cdot st}{(s+t) \cdot st} = \frac{2st}{st(s+t)}$

2. Для дроби $\frac{s+t}{t}$ дополнительный множитель равен $\frac{st(s+t)}{t} = s(s+t)$. Умножаем числитель и знаменатель на $s(s+t)$:
$\frac{s+t}{t} = \frac{(s+t) \cdot s(s+t)}{t \cdot s(s+t)} = \frac{s(s+t)^2}{st(s+t)}$

3. Для дроби $\frac{s-t}{s}$ дополнительный множитель равен $\frac{st(s+t)}{s} = t(s+t)$. Умножаем числитель и знаменатель на $t(s+t)$:
$\frac{s-t}{s} = \frac{(s-t) \cdot t(s+t)}{s \cdot t(s+t)} = \frac{t(s^2-t^2)}{st(s+t)}$

Ответ: $\frac{2st}{st(s+t)}$, $\frac{s(s+t)^2}{st(s+t)}$, $\frac{t(s^2-t^2)}{st(s+t)}$.

б)

Даны выражения: $\frac{m}{m+n}$, $\frac{n}{m}$ и $(m+n)$.

Сначала представим выражение $(m+n)$ в виде дроби со знаменателем 1: $\frac{m+n}{1}$.

Знаменатели дробей: $(m+n)$, $m$ и $1$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению уникальных знаменателей: $m(m+n)$.

Приведем каждую дробь к НОЗ.

1. Для дроби $\frac{m}{m+n}$ дополнительный множитель: $m$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{m \cdot m}{(m+n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m+n)}$

2. Для дроби $\frac{n}{m}$ дополнительный множитель: $(m+n)$.
$\frac{n}{m} = \frac{n \cdot (m+n)}{m \cdot (m+n)} = \frac{n(m+n)}{m(m+n)}$

3. Для дроби $\frac{m+n}{1}$ дополнительный множитель: $m(m+n)$.
$\frac{m+n}{1} = \frac{(m+n) \cdot m(m+n)}{1 \cdot m(m+n)} = \frac{m(m+n)^2}{m(m+n)}$

Ответ: $\frac{m^2}{m(m+n)}$, $\frac{n(m+n)}{m(m+n)}$, $\frac{m(m+n)^2}{m(m+n)}$.

в)

Даны дроби: $\frac{a+b}{a^2}$, $\frac{a-b}{3a}$ и $\frac{b^2}{a+b}$.

Знаменатели дробей: $a^2$, $3a$ и $(a+b)$.

Разложим знаменатели на множители: $a^2 = a \cdot a$; $3a = 3 \cdot a$; $(a+b) = (a+b)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) находится как произведение всех уникальных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются. НОЗ = $3 \cdot a^2 \cdot (a+b) = 3a^2(a+b)$.

Приведем дроби к этому знаменателю.

1. Для $\frac{a+b}{a^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3a^2(a+b)}{a^2} = 3(a+b)$.
$\frac{a+b}{a^2} = \frac{(a+b) \cdot 3(a+b)}{a^2 \cdot 3(a+b)} = \frac{3(a+b)^2}{3a^2(a+b)}$

2. Для $\frac{a-b}{3a}$ дополнительный множитель: $\frac{3a^2(a+b)}{3a} = a(a+b)$.
$\frac{a-b}{3a} = \frac{(a-b) \cdot a(a+b)}{3a \cdot a(a+b)} = \frac{a(a-b)(a+b)}{3a^2(a+b)} = \frac{a(a^2-b^2)}{3a^2(a+b)}$

3. Для $\frac{b^2}{a+b}$ дополнительный множитель: $\frac{3a^2(a+b)}{a+b} = 3a^2$.
$\frac{b^2}{a+b} = \frac{b^2 \cdot 3a^2}{(a+b) \cdot 3a^2} = \frac{3a^2b^2}{3a^2(a+b)}$

Ответ: $\frac{3(a+b)^2}{3a^2(a+b)}$, $\frac{a(a^2-b^2)}{3a^2(a+b)}$, $\frac{3a^2b^2}{3a^2(a+b)}$.

г)

Даны выражения: $\frac{a}{a-b}$, $\frac{b}{2a}$ и $(b+a)$.

Представим выражение $(b+a)$ как дробь $\frac{a+b}{1}$.

Знаменатели дробей: $(a-b)$, $2a$ и $1$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению этих знаменателей: $2a(a-b)$.

Приведем дроби к НОЗ.

1. Для $\frac{a}{a-b}$ дополнительный множитель: $2a$.
$\frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot 2a}{(a-b) \cdot 2a} = \frac{2a^2}{2a(a-b)}$

2. Для $\frac{b}{2a}$ дополнительный множитель: $(a-b)$.
$\frac{b}{2a} = \frac{b \cdot (a-b)}{2a \cdot (a-b)} = \frac{b(a-b)}{2a(a-b)}$

3. Для $\frac{a+b}{1}$ дополнительный множитель: $2a(a-b)$.
$\frac{a+b}{1} = \frac{(a+b) \cdot 2a(a-b)}{1 \cdot 2a(a-b)} = \frac{2a(a+b)(a-b)}{2a(a-b)} = \frac{2a(a^2-b^2)}{2a(a-b)}$

Ответ: $\frac{2a^2}{2a(a-b)}$, $\frac{b(a-b)}{2a(a-b)}$, $\frac{2a(a^2-b^2)}{2a(a-b)}$.