Номер 2.32, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.32, страница 22.

Условие.

2.32 a) $ \frac{11a}{a^3 + b^3} $ И $ \frac{1}{a + b} $

б) $ \frac{3x + 1}{x^3 - 27} $ И $ \frac{x - 3}{x^2 + 3x + 9} $

в) $ \frac{10b}{b^3 - 8} $ И $ \frac{1}{b - 2} $

г) $ \frac{1 - 5y}{t^3 + y^3} $ И $ \frac{t + y}{t^2 - ty + y} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Даны дроби $\frac{11a}{a^3 + b^3}$ и $\frac{1}{a+b}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Знаменатель первой дроби: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Знаменатель второй дроби: $a+b$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени. В данном случае НОЗ равен $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Первая дробь $\frac{11a}{a^3 + b^3}$ уже имеет нужный знаменатель. Её дополнительный множитель равен 1.

Для второй дроби $\frac{1}{a+b}$ найдем дополнительный множитель, разделив НОЗ на её знаменатель: $\frac{a^3 + b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} = a^2 - ab + b^2$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот дополнительный множитель:

$\frac{1 \cdot (a^2 - ab + b^2)}{(a+b) \cdot (a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$.

Ответ: $\frac{11a}{a^3 + b^3}$ и $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$.

б) Даны дроби $\frac{3x+1}{x^3 - 27}$ и $\frac{x-3}{x^2 + 3x + 9}$.

Разложим знаменатели на множители. Используем формулу разности кубов: $x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + ax + a^2)$.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 3x + 9$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $(x-3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 27$.

Первая дробь $\frac{3x+1}{x^3 - 27}$ уже имеет нужный знаменатель.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x-3}{x^2 + 3x + 9}$ равен $\frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} = x-3$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(x-3)$:

$\frac{(x-3) \cdot (x-3)}{(x^2 + 3x + 9) \cdot (x-3)} = \frac{(x-3)^2}{x^3 - 27} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x^3 - 27}$.

Ответ: $\frac{3x+1}{x^3 - 27}$ и $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^3 - 27}$.

в) Даны дроби $\frac{10b}{b^3 - 8}$ и $\frac{1}{b-2}$.

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности кубов: $b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + 2b + 4)$.

Знаменатель второй дроби: $b-2$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $(b-2)(b^2 + 2b + 4) = b^3 - 8$.

Первая дробь $\frac{10b}{b^3 - 8}$ уже приведена к общему знаменателю.

Найдем дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{b-2}$: $\frac{b^3 - 8}{b-2} = b^2 + 2b + 4$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:

$\frac{1 \cdot (b^2 + 2b + 4)}{(b-2) \cdot (b^2 + 2b + 4)} = \frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8}$.

Ответ: $\frac{10b}{b^3 - 8}$ и $\frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8}$.

г) Даны дроби $\frac{1-5y}{t^3 + y^3}$ и $\frac{t+y}{t^2 - ty + y}$.

Примечание: В знаменателе второй дроби, скорее всего, опечатка, и он должен быть $t^2 - ty + y^2$, что является неполным квадратом разности, соответствующим формуле суммы кубов. Решение приведено с учетом этого исправления.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $t^3 + y^3 = (t+y)(t^2 - ty + y^2)$.

Исправленный знаменатель второй дроби: $t^2 - ty + y^2$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $(t+y)(t^2 - ty + y^2) = t^3 + y^3$.

Первая дробь $\frac{1-5y}{t^3 + y^3}$ уже имеет общий знаменатель.

Найдем дополнительный множитель для второй дроби $\frac{t+y}{t^2 - ty + y^2}$: $\frac{t^3 + y^3}{t^2 - ty + y^2} = t+y$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(t+y)$:

$\frac{(t+y) \cdot (t+y)}{(t^2 - ty + y^2) \cdot (t+y)} = \frac{(t+y)^2}{t^3 + y^3} = \frac{t^2 + 2ty + y^2}{t^3 + y^3}$.

Ответ: $\frac{1-5y}{t^3 + y^3}$ и $\frac{t^2 + 2ty + y^2}{t^3 + y^3}$.