Номер 2.27, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.27, страница 21.

Условие.

2.27 a) $ \frac{3c}{cd + d^2} $ И $ \frac{c + 3}{cd - d^2} $;

б) $ \frac{4 - 2x + x^2}{2x - x^2} $ И $ \frac{2 - x}{2x + x^2} $;

в) $ \frac{x - 2}{xy - y} $ И $ \frac{2y}{xy + y} $;

г) $ \frac{x + 1}{x^2 - x} $ И $ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы привести дроби $\frac{3c}{cd + d^2}$ и $\frac{c+3}{cd - d^2}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$cd + d^2 = d(c + d)$
$cd - d^2 = d(c - d)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он равен произведению всех уникальных множителей в их наивысшей степени:
НОЗ = $d(c + d)(c - d) = d(c^2 - d^2)$

3. Найдём дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $\frac{d(c+d)(c-d)}{d(c+d)} = c - d$
Для второй дроби: $\frac{d(c+d)(c-d)}{d(c-d)} = c + d$

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:
$\frac{3c}{cd + d^2} = \frac{3c(c-d)}{d(c+d)(c-d)} = \frac{3c^2 - 3cd}{d(c^2 - d^2)}$
$\frac{c+3}{cd - d^2} = \frac{(c+3)(c+d)}{d(c-d)(c+d)} = \frac{c^2 + cd + 3c + 3d}{d(c^2 - d^2)}$
Ответ: $\frac{3c^2 - 3cd}{d(c^2 - d^2)}$ и $\frac{c^2 + cd + 3c + 3d}{d(c^2 - d^2)}$.

б) Чтобы привести дроби $\frac{4 - 2x + x^2}{2x - x^2}$ и $\frac{2-x}{2x + x^2}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$2x - x^2 = x(2 - x)$
$2x + x^2 = x(2 + x)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ):
НОЗ = $x(2 - x)(2 + x) = x(4 - x^2)$

3. Найдём дополнительные множители:
Для первой дроби: $2 + x$
Для второй дроби: $2 - x$

4. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{4 - 2x + x^2}{2x - x^2} = \frac{(x^2 - 2x + 4)(x+2)}{x(2-x)(x+2)} = \frac{x^3 + 8}{x(4 - x^2)}$ (в числителе использована формула суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$).
$\frac{2-x}{2x + x^2} = \frac{(2-x)(2-x)}{x(2+x)(2-x)} = \frac{(2-x)^2}{x(4 - x^2)} = \frac{4 - 4x + x^2}{x(4 - x^2)}$
Ответ: $\frac{x^3 + 8}{x(4 - x^2)}$ и $\frac{4 - 4x + x^2}{x(4 - x^2)}$.

в) Чтобы привести дроби $\frac{x-2}{xy-y}$ и $\frac{2y}{xy+y}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$xy - y = y(x - 1)$
$xy + y = y(x + 1)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ):
НОЗ = $y(x - 1)(x + 1) = y(x^2 - 1)$

3. Найдём дополнительные множители:
Для первой дроби: $x + 1$
Для второй дроби: $x - 1$

4. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{x-2}{xy-y} = \frac{(x-2)(x+1)}{y(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x-2x-2}{y(x^2-1)} = \frac{x^2 - x - 2}{y(x^2 - 1)}$
$\frac{2y}{xy+y} = \frac{2y(x-1)}{y(x+1)(x-1)} = \frac{2xy - 2y}{y(x^2 - 1)}$
Ответ: $\frac{x^2 - x - 2}{y(x^2 - 1)}$ и $\frac{2xy - 2y}{y(x^2 - 1)}$.

г) Чтобы привести дроби $\frac{x+1}{x^2 - x}$ и $\frac{x^2+x+1}{x^2+x}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - x = x(x - 1)$
$x^2 + x = x(x + 1)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ):
НОЗ = $x(x - 1)(x + 1) = x(x^2 - 1)$

3. Найдём дополнительные множители:
Для первой дроби: $x + 1$
Для второй дроби: $x - 1$

4. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{x+1}{x^2-x} = \frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{x(x^2-1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2 - 1)}$
$\frac{x^2+x+1}{x^2+x} = \frac{(x^2+x+1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{x^3 - 1}{x(x^2 - 1)}$ (в числителе использована формула разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$).
Ответ: $\frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2 - 1)}$ и $\frac{x^3 - 1}{x(x^2 - 1)}$.