Номер 2.30, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.30, страница 22.

Условие.

2.30 a) $ \frac{7x}{x^2 - 4} $ и $ \frac{x + 2}{x - 2} $;

б) $ \frac{8y}{y^2 - 9} $ и $ \frac{5}{3 - y} $;

в) $ \frac{m - n}{m + n} $ и $ \frac{5mn}{m^2 - n^2} $;

г) $ \frac{7m}{-m - n} $ и $ \frac{3n}{m^2 - n^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Даны дроби $\frac{7x}{x^2 - 4}$ и $\frac{x+2}{x-2}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Знаменатель второй дроби $x-2$ уже является простым множителем.

Наименьшим общим знаменателем для этих дробей будет произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени, то есть $(x-2)(x+2)$, что равно $x^2-4$.

Первая дробь $\frac{7x}{x^2 - 4}$ уже имеет этот знаменатель, поэтому ее мы не меняем.

Для второй дроби $\frac{x+2}{x-2}$ дополнительным множителем является $(x+2)$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $(x+2)$:

$\frac{x+2}{x-2} = \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)^2}{x^2-4} = \frac{x^2+4x+4}{x^2-4}$.

Ответ: $\frac{7x}{x^2-4}$ и $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}$.

б) Даны дроби $\frac{8y}{y^2 - 9}$ и $\frac{5}{3 - y}$.

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$.

Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся за скобки $-1$: $3 - y = -(y - 3)$.

Тогда вторая дробь примет вид: $\frac{5}{3-y} = \frac{5}{-(y-3)} = -\frac{5}{y-3}$.

Наименьшим общим знаменателем будет $(y-3)(y+3) = y^2-9$.

Первая дробь $\frac{8y}{y^2 - 9}$ уже приведена к этому знаменателю.

Для второй дроби $-\frac{5}{y-3}$ дополнительным множителем является $(y+3)$. Умножим числитель и знаменатель на $(y+3)$:

$-\frac{5}{y-3} = -\frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)} = -\frac{5y+15}{y^2-9} = \frac{-5y-15}{y^2-9}$.

Ответ: $\frac{8y}{y^2-9}$ и $\frac{-5y-15}{y^2-9}$.

в) Даны дроби $\frac{m-n}{m+n}$ и $\frac{5mn}{m^2 - n^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.

Наименьший общий знаменатель для дробей — это $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

Вторая дробь $\frac{5mn}{m^2 - n^2}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для первой дроби $\frac{m-n}{m+n}$ дополнительным множителем является $(m-n)$. Умножим ее числитель и знаменатель на этот множитель:

$\frac{m-n}{m+n} = \frac{(m-n)(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{(m-n)^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$ и $\frac{5mn}{m^2-n^2}$.

г) Даны дроби $\frac{7m}{-m-n}$ и $\frac{3n}{m^2 - n^2}$.

Преобразуем знаменатель первой дроби: $-m-n = -(m+n)$. Дробь можно записать как $\frac{7m}{-(m+n)} = -\frac{7m}{m+n}$.

Знаменатель второй дроби разложим на множители: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.

Наименьшим общим знаменателем является $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

Вторая дробь $\frac{3n}{m^2 - n^2}$ уже приведена к общему знаменателю.

Для первой дроби $-\frac{7m}{m+n}$ дополнительным множителем будет $(m-n)$. Умножим числитель и знаменатель на $(m-n)$:

$-\frac{7m}{m+n} = -\frac{7m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = -\frac{7m^2-7mn}{m^2-n^2} = \frac{-7m^2+7mn}{m^2-n^2}$.

Ответ: $\frac{-7m^2+7mn}{m^2-n^2}$ и $\frac{3n}{m^2-n^2}$.