Номер 2.31, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.31, страница 22.

Условие.

2.31 a) $ \frac{x+y}{x-y} $ и $ \frac{49}{(x-y)^2} $;

б) $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ и $ \frac{42b}{(z-t)^7} $;

в) $ \frac{p}{(p+q)^2} $ и $ \frac{p-q}{p+q} $;

г) $ \frac{7a}{(a+b)^{12}} $ и $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Даны дроби $ \frac{x+y}{x-y} $ и $ \frac{49}{(x-y)^2} $.
Знаменатели этих дробей: $ (x-y) $ и $ (x-y)^2 $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений — это $ (x-y)^2 $.
Для первой дроби $ \frac{x+y}{x-y} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(x-y)^2}{x-y} = x-y $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель, используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)(x-y)} = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2} $.
Для второй дроби $ \frac{49}{(x-y)^2} $ знаменатель уже является общим, поэтому она остается без изменений.
Ответ: $ \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2} $ и $ \frac{49}{(x-y)^2} $.

б)

Даны дроби $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ и $ \frac{42b}{(z-t)^7} $.
Знаменатели этих дробей: $ (z-t)^8 $ и $ (z-t)^7 $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это выражение с наибольшей степенью, то есть $ (z-t)^8 $.
Для первой дроби $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ знаменатель уже является общим, поэтому она не изменяется.
Для второй дроби $ \frac{42b}{(z-t)^7} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(z-t)^8}{(z-t)^7} = z-t $.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:
$ \frac{42b}{(z-t)^7} = \frac{42b(z-t)}{(z-t)^7(z-t)} = \frac{42b(z-t)}{(z-t)^8} $.
Ответ: $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ и $ \frac{42b(z-t)}{(z-t)^8} $.

в)

Даны дроби $ \frac{p}{(p+q)^2} $ и $ \frac{p-q}{p+q} $.
Знаменатели этих дробей: $ (p+q)^2 $ и $ (p+q) $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $ (p+q)^2 $.
Для первой дроби $ \frac{p}{(p+q)^2} $ знаменатель уже является общим, поэтому она не изменяется.
Для второй дроби $ \frac{p-q}{p+q} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(p+q)^2}{p+q} = p+q $.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель, используя формулу разности квадратов:
$ \frac{p-q}{p+q} = \frac{(p-q)(p+q)}{(p+q)(p+q)} = \frac{p^2 - q^2}{(p+q)^2} $.
Ответ: $ \frac{p}{(p+q)^2} $ и $ \frac{p^2 - q^2}{(p+q)^2} $.

г)

Даны дроби $ \frac{7a}{(a+b)^{12}} $ и $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $.
Знаменатели этих дробей: $ (a+b)^{12} $ и $ (a+b)^{14} $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это выражение с наибольшей степенью, то есть $ (a+b)^{14} $.
Для первой дроби $ \frac{7a}{(a+b)^{12}} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(a+b)^{14}}{(a+b)^{12}} = (a+b)^2 $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:
$ \frac{7a}{(a+b)^{12}} = \frac{7a \cdot (a+b)^2}{(a+b)^{12} \cdot (a+b)^2} = \frac{7a(a+b)^2}{(a+b)^{14}} $.
Для второй дроби $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $ знаменатель уже является общим, поэтому она не изменяется.
Ответ: $ \frac{7a(a+b)^2}{(a+b)^{14}} $ и $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $.