Номер 2.26, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.26, страница 21.

Условие.

2.26 a) $ \frac{5m}{m-8} $ и $ \frac{6n}{m+8} $;

б) $ \frac{a-b}{b(a+b)} $ и $ \frac{4a}{b(a-b)} $;

в) $ \frac{q+10}{q-10} $ и $ \frac{3q}{q+10} $;

г) $ \frac{x+1}{y(x-1)} $ и $ \frac{x-1}{y(x+1)} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Даны дроби $\frac{5m}{m-8}$ и $\frac{6n}{m+8}$. Знаменатели этих дробей, $(m-8)$ и $(m+8)$, являются взаимно простыми выражениями, так как не имеют общих множителей, кроме 1. Следовательно, наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей будет равен их произведению. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, получаем НОЗ: $(m-8)(m+8) = m^2 - 64$.
Для первой дроби дополнительным множителем является $(m+8)$:$\frac{5m}{m-8} = \frac{5m \cdot (m+8)}{(m-8) \cdot (m+8)} = \frac{5m^2 + 40m}{m^2 - 64}$.
Для второй дроби дополнительным множителем является $(m-8)$:$\frac{6n}{m+8} = \frac{6n \cdot (m-8)}{(m+8) \cdot (m-8)} = \frac{6mn - 48n}{m^2 - 64}$.
Ответ: $\frac{5m^2 + 40m}{m^2 - 64}$ и $\frac{6mn - 48n}{m^2 - 64}$.

б) Даны дроби $\frac{a-b}{b(a+b)}$ и $\frac{4a}{b(a-b)}$. Знаменатели дробей $b(a+b)$ и $b(a-b)$ имеют общий множитель $b$. Наименьший общий знаменатель должен содержать каждый множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в знаменателях. Таким образом, НОЗ равен $b(a+b)(a-b) = b(a^2-b^2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-b)$:$\frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{b(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{(a-b)^2}{b(a^2-b^2)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{b(a^2-b^2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(a+b)$:$\frac{4a}{b(a-b)} = \frac{4a \cdot (a+b)}{b(a-b) \cdot (a+b)} = \frac{4a^2 + 4ab}{b(a^2-b^2)}$.
Ответ: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{b(a^2-b^2)}$ и $\frac{4a^2 + 4ab}{b(a^2-b^2)}$.

в) Даны дроби $\frac{q+10}{q-10}$ и $\frac{3q}{q+10}$. Знаменатели $(q-10)$ и $(q+10)$ не имеют общих множителей. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $(q-10)(q+10) = q^2 - 100$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(q+10)$:$\frac{q+10}{q-10} = \frac{(q+10) \cdot (q+10)}{(q-10) \cdot (q+10)} = \frac{(q+10)^2}{q^2-100} = \frac{q^2 + 20q + 100}{q^2-100}$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(q-10)$:$\frac{3q}{q+10} = \frac{3q \cdot (q-10)}{(q+10) \cdot (q-10)} = \frac{3q^2 - 30q}{q^2-100}$.
Ответ: $\frac{q^2 + 20q + 100}{q^2-100}$ и $\frac{3q^2 - 30q}{q^2-100}$.

г) Даны дроби $\frac{x+1}{y(x-1)}$ и $\frac{x-1}{y(x+1)}$. Знаменатели $y(x-1)$ и $y(x+1)$ имеют общий множитель $y$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей: $y(x-1)(x+1) = y(x^2-1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+1)$:$\frac{x+1}{y(x-1)} = \frac{(x+1) \cdot (x+1)}{y(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{(x+1)^2}{y(x^2-1)} = \frac{x^2+2x+1}{y(x^2-1)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(x-1)$:$\frac{x-1}{y(x+1)} = \frac{(x-1) \cdot (x-1)}{y(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{(x-1)^2}{y(x^2-1)} = \frac{x^2-2x+1}{y(x^2-1)}$.
Ответ: $\frac{x^2+2x+1}{y(x^2-1)}$ и $\frac{x^2-2x+1}{y(x^2-1)}$.