Номер 2.33, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.33, страница 22.

Условие.

2.33 a) $\frac{a - b}{5a + 5b}$ И $\frac{a^2}{a^2 - b^2}$;

б) $\frac{y^3}{x^2 - y^2}$ И $\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - xy}$;

B) $\frac{xy}{x^2 - y^2}$ И $\frac{x + y}{2x - 2y}$;

г) $\frac{z^2 + tz + t^2}{zt + z^2}$ И $\frac{3t}{z^2 - t^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{a-b}{5a+5b}$ и $\frac{a^2}{a^2-b^2}$ к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $5a+5b = 5(a+b)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ (по формуле разности квадратов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет произведением всех уникальных множителей в максимальной степени: $5(a-b)(a+b) = 5(a^2-b^2)$.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.

Для первой дроби $\frac{a-b}{5(a+b)}$ дополнительный множитель равен $(a-b)$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{(a-b)(a-b)}{5(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{5(a^2-b^2)}$.

Для второй дроби $\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}$ дополнительный множитель равен $5$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{a^2 \cdot 5}{(a-b)(a+b) \cdot 5} = \frac{5a^2}{5(a^2-b^2)}$.

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)}$ и $\frac{5a^2}{5(a^2-b^2)}$.

б)

Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{y^3}{x^2-y^2}$ и $\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-xy}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2-xy = x(x-y)$.

НОЗ равен $x(x-y)(x+y) = x(x^2-y^2)$.

Приведем первую дробь к НОЗ. Дополнительный множитель — $x$.

$\frac{y^3 \cdot x}{(x-y)(x+y) \cdot x} = \frac{xy^3}{x(x^2-y^2)}$.

Приведем вторую дробь к НОЗ. Дополнительный множитель — $(x+y)$.

$\frac{(x^2-xy+y^2)(x+y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{x^3+y^3}{x(x^2-y^2)}$ (в числителе формула суммы кубов).

Ответ: $\frac{xy^3}{x(x^2-y^2)}$ и $\frac{x^3+y^3}{x(x^2-y^2)}$.

в)

Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{xy}{x^2-y^2}$ и $\frac{x+y}{2x-2y}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Знаменатель второй дроби: $2x-2y = 2(x-y)$.

НОЗ равен $2(x-y)(x+y) = 2(x^2-y^2)$.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $2$.

$\frac{xy \cdot 2}{(x-y)(x+y) \cdot 2} = \frac{2xy}{2(x^2-y^2)}$.

Для второй дроби дополнительный множитель равен $(x+y)$.

$\frac{(x+y)(x+y)}{2(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)^2}{2(x^2-y^2)} = \frac{x^2+2xy+y^2}{2(x^2-y^2)}$.

Ответ: $\frac{2xy}{2(x^2-y^2)}$ и $\frac{(x+y)^2}{2(x^2-y^2)}$.

г)

Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{z^2+tz+t^2}{zt+z^2}$ и $\frac{3t}{z^2-t^2}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $zt+z^2 = z(t+z)$.

Знаменатель второй дроби: $z^2-t^2 = (z-t)(z+t)$.

НОЗ равен $z(z-t)(z+t) = z(z^2-t^2)$.

Для первой дроби $\frac{z^2+tz+t^2}{z(t+z)}$ дополнительный множитель равен $(z-t)$.

$\frac{(z^2+tz+t^2)(z-t)}{z(z+t)(z-t)} = \frac{z^3-t^3}{z(z^2-t^2)}$ (в числителе формула разности кубов).

Для второй дроби $\frac{3t}{(z-t)(z+t)}$ дополнительный множитель равен $z$.

$\frac{3t \cdot z}{(z-t)(z+t) \cdot z} = \frac{3tz}{z(z^2-t^2)}$.

Ответ: $\frac{z^3-t^3}{z(z^2-t^2)}$ и $\frac{3tz}{z(z^2-t^2)}$.