Номер 2.35, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.35, страница 22.

Условие.

Найдите значение дроби:

2.35 а) $ \frac{9x^2 - 3xy}{12xy - 4y^2} $ при $x = 0,5$, $y = 0,25$;

б) $ \frac{a^3 - 4ab^2}{12b^2 - 6ab} $ при $a = -2,4$, $b = 0,2$;

в) $ \frac{16m^2 - 4n^2}{6m - 3n} $ при $m = 1,5$, $n = -4,5$;

г) $ \frac{30kl - 15k^2}{4kl - 8l^2} $ при $k = \frac{1}{5}$, $l = \frac{1}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{9x^2 - 3xy}{12xy - 4y^2}$ при $x = 0,5$ и $y = 0,25$, сначала упростим ее. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$:
$9x^2 - 3xy = 3x(3x - y)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4y$:
$12xy - 4y^2 = 4y(3x - y)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{3x(3x - y)}{4y(3x - y)}$.
Можно сократить дробь на общий множитель $(3x - y)$, так как при заданных значениях он не равен нулю ($3 \cdot 0,5 - 0,25 = 1,5 - 0,25 = 1,25 \neq 0$).
После сокращения получаем простое выражение: $\frac{3x}{4y}$.
Подставим в него значения $x = 0,5$ и $y = 0,25$:
$\frac{3 \cdot 0,5}{4 \cdot 0,25} = \frac{1,5}{1} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{a^3 - 4ab^2}{12b^2 - 6ab}$ при $a = -2,4$ и $b = 0,2$, сначала упростим ее.
Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель $a$:
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - (2b)^2$, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a(a - 2b)(a + 2b)$.
Теперь разложим на множители знаменатель, вынеся за скобки $6b$:
$12b^2 - 6ab = 6b(2b - a)$.
Заметим, что $(2b - a) = -(a - 2b)$, поэтому знаменатель можно переписать как $-6b(a - 2b)$.
Дробь принимает вид: $\frac{a(a - 2b)(a + 2b)}{-6b(a - 2b)}$.
Сократим дробь на $(a - 2b)$ (проверка показывает, что $-2,4 - 2 \cdot 0,2 = -2,8 \neq 0$).
Получаем выражение: $\frac{a(a + 2b)}{-6b}$.
Подставим значения $a = -2,4$ и $b = 0,2$:
$\frac{-2,4(-2,4 + 2 \cdot 0,2)}{-6 \cdot 0,2} = \frac{-2,4(-2,4 + 0,4)}{-1,2} = \frac{-2,4(-2)}{-1,2} = \frac{4,8}{-1,2} = -4$.
Ответ: -4.

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{16m^2 - 4n^2}{6m - 3n}$ при $m = 1,5$ и $n = -4,5$, сначала упростим выражение.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 4:
$16m^2 - 4n^2 = 4(4m^2 - n^2)$.
Выражение в скобках — это разность квадратов $(2m)^2 - n^2$, которую разложим на множители:
$4(2m - n)(2m + n)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3:
$6m - 3n = 3(2m - n)$.
Дробь принимает вид: $\frac{4(2m - n)(2m + n)}{3(2m - n)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2m - n)$ (проверка: $2 \cdot 1,5 - (-4,5) = 3 + 4,5 = 7,5 \neq 0$).
Получаем упрощенное выражение: $\frac{4(2m + n)}{3}$.
Подставим значения $m = 1,5$ и $n = -4,5$:
$\frac{4(2 \cdot 1,5 + (-4,5))}{3} = \frac{4(3 - 4,5)}{3} = \frac{4(-1,5)}{3} = \frac{-6}{3} = -2$.
Ответ: -2.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{30kl - 15k^2}{4kl - 8l^2}$ при $k = \frac{1}{5}$ и $l = \frac{1}{6}$, сначала упростим ее.
Разложим числитель на множители, вынеся за скобки $15k$:
$30kl - 15k^2 = 15k(2l - k)$.
Разложим знаменатель на множители, вынеся за скобки $4l$:
$4kl - 8l^2 = 4l(k - 2l)$.
Перепишем знаменатель, вынеся минус за скобку: $4l(k - 2l) = -4l(2l - k)$.
Дробь принимает вид: $\frac{15k(2l - k)}{-4l(2l - k)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2l - k)$ (проверка: $2 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15} \neq 0$).
Получаем: $-\frac{15k}{4l}$.
Подставим значения $k = \frac{1}{5}$ и $l = \frac{1}{6}$:
$-\frac{15 \cdot \frac{1}{5}}{4 \cdot \frac{1}{6}} = -\frac{3}{\frac{4}{6}} = -\frac{3}{\frac{2}{3}} = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5$.
Ответ: -4,5.