Номер 2.29, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.29, страница 21.

Условие.

2.29 а) $\frac{1}{(x - y)^2}$ и $\frac{1}{(y - x)^2}$;

б) $\frac{15m}{(a - b)^2}$ и $\frac{17n}{-(b - a)^2}$;

в) $\frac{25p}{(p - q)^2}$ и $\frac{5q}{(q - p)^2}$;

г) $\frac{3k}{-(l - k)^2}$ и $\frac{8l}{(k - l)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данных задач мы будем использовать свойство квадрата противоположных чисел: $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$. Это свойство позволяет приводить знаменатели дробей к одинаковому виду.

а) Сравним дроби $\frac{1}{(x-y)^2}$ и $\frac{1}{(y-x)^2}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $(y-x)^2$. Так как $y-x = -(x-y)$, то $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$.

Поскольку знаменатели дробей равны, $(x-y)^2 = (y-x)^2$, и их числители также равны (1), то сами дроби равны.

Ответ: дроби равны, так как $\frac{1}{(x-y)^2} = \frac{1}{(y-x)^2}$.

б) Рассмотрим дроби $\frac{15m}{(a-b)^2}$ и $\frac{17n}{-(b-a)^2}$.

Приведем их к общему знаменателю. Преобразуем знаменатель второй дроби, используя тождество $(b-a)^2 = (a-b)^2$. Получаем: $-(b-a)^2 = -(a-b)^2$.

Тогда вторая дробь может быть записана как $\frac{17n}{-(a-b)^2}$ или, что то же самое, $\frac{-17n}{(a-b)^2}$.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $(a-b)^2$. В общем случае дроби не равны.

Ответ: дроби, приведенные к общему знаменателю: $\frac{15m}{(a-b)^2}$ и $\frac{-17n}{(a-b)^2}$.

в) Сравним дроби $\frac{25p}{(p-q)^2}$ и $\frac{5q}{(q-p)^2}$.

Приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $(q-p)^2$ можно преобразовать, используя свойство $(q-p)^2 = (p-q)^2$.

Таким образом, знаменатели обеих дробей равны. Дроби можно записать с общим знаменателем $(p-q)^2$. В общем случае, при произвольных $p$ и $q$, дроби не равны.

Ответ: дроби, приведенные к общему знаменателю: $\frac{25p}{(p-q)^2}$ и $\frac{5q}{(p-q)^2}$.

г) Рассмотрим дроби $\frac{3k}{-(l-k)^2}$ и $\frac{8l}{(k-l)^2}$.

Приведем их к общему знаменателю. Преобразуем знаменатель первой дроби: $-(l-k)^2$. Так как $(l-k)^2 = (k-l)^2$, то $-(l-k)^2 = -(k-l)^2$.

Тогда первая дробь примет вид: $\frac{3k}{-(k-l)^2} = \frac{-3k}{(k-l)^2}$.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $(k-l)^2$. В общем случае дроби не равны.

Ответ: дроби, приведенные к общему знаменателю: $\frac{-3k}{(k-l)^2}$ и $\frac{8l}{(k-l)^2}$.