Номер 2.25, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.25, страница 21.

Условие.

2.25 a) $\frac{17x}{3x-3}$ и $\frac{11}{6x-6}$

б) $ \frac{b-2}{ab+2a} $ и $ \frac{a+2}{2b+b^2} $

в) $ \frac{5x}{8x+8y} $ и $ \frac{9y}{4x+4y} $

г) $ \frac{x-3}{x^2-xy} $ и $ \frac{y-3}{xy-y^2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Даны дроби $ \frac{17x}{3x-3} $ и $ \frac{11}{6x-6} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители:
$ 3x - 3 = 3(x - 1) $
$ 6x - 6 = 6(x - 1) = 2 \cdot 3(x - 1) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — это наименьшее общее кратное их знаменателей. НОЗ равен $ 6(x - 1) $.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби, разделив НОЗ на ее знаменатель: $ \frac{6(x - 1)}{3(x - 1)} = 2 $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{6(x - 1)}{6(x - 1)} = 1 $.
Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
Для первой дроби: $ \frac{17x}{3(x-1)} = \frac{17x \cdot 2}{3(x-1) \cdot 2} = \frac{34x}{6(x-1)} = \frac{34x}{6x-6} $.
Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель: $ \frac{11}{6x-6} $.
Ответ: $ \frac{34x}{6x-6} $ и $ \frac{11}{6x-6} $.

б) Даны дроби $ \frac{b-2}{ab+2a} $ и $ \frac{a+2}{2b+b^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ ab + 2a = a(b + 2) $
$ 2b + b^2 = b(2 + b) = b(b + 2) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени: $ ab(b + 2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab(b+2)}{a(b+2)} = b $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab(b+2)}{b(b+2)} = a $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{b-2}{a(b+2)} = \frac{(b-2) \cdot b}{a(b+2) \cdot b} = \frac{b^2 - 2b}{ab(b+2)} = \frac{b^2 - 2b}{ab^2 + 2ab} $
$ \frac{a+2}{b(b+2)} = \frac{(a+2) \cdot a}{b(b+2) \cdot a} = \frac{a^2 + 2a}{ab(b+2)} = \frac{a^2 + 2a}{ab^2 + 2ab} $
Ответ: $ \frac{b^2 - 2b}{ab^2 + 2ab} $ и $ \frac{a^2 + 2a}{ab^2 + 2ab} $.

в) Даны дроби $ \frac{5x}{8x+8y} $ и $ \frac{9y}{4x+4y} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ 8x + 8y = 8(x + y) $
$ 4x + 4y = 4(x + y) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ 8(x+y) $ и $ 4(x+y) $ равен $ 8(x+y) $, так как 8 является наименьшим общим кратным для чисел 8 и 4.
Дополнительный множитель для первой дроби равен 1, поэтому дробь не изменяется: $ \frac{5x}{8(x+y)} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{8(x+y)}{4(x+y)} = 2 $.
Приводим вторую дробь к общему знаменателю:
$ \frac{9y}{4(x+y)} = \frac{9y \cdot 2}{4(x+y) \cdot 2} = \frac{18y}{8(x+y)} = \frac{18y}{8x+8y} $
Ответ: $ \frac{5x}{8x+8y} $ и $ \frac{18y}{8x+8y} $.

г) Даны дроби $ \frac{x-3}{x^2-xy} $ и $ \frac{y-3}{xy-y^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ x^2 - xy = x(x - y) $
$ xy - y^2 = y(x - y) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ xy(x - y) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{xy(x-y)}{x(x-y)} = y $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{xy(x-y)}{y(x-y)} = x $.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{x-3}{x(x-y)} = \frac{(x-3)y}{x(x-y)y} = \frac{xy - 3y}{xy(x-y)} = \frac{xy - 3y}{x^2y - xy^2} $
$ \frac{y-3}{y(x-y)} = \frac{(y-3)x}{y(x-y)x} = \frac{xy - 3x}{xy(x-y)} = \frac{xy - 3x}{x^2y - xy^2} $
Ответ: $ \frac{xy - 3y}{x^2y - xy^2} $ и $ \frac{xy - 3x}{x^2y - xy^2} $.