Номер 2.22, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.22, страница 21.

Условие.

2.22 а) $\frac{b}{a + b}$ и $\frac{13b}{a}$;

б) $\frac{1 + a}{a^2}$ и $\frac{a - 1}{a - 4}$;

в) $\frac{2c}{b}$ и $\frac{b}{b - c}$;

г) $\frac{x - y}{x + y}$ и $\frac{x + 3}{x^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{a+b}$ и $\frac{13b}{a}$ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное их знаменателей. Знаменатели $a+b$ и $a$ являются взаимно простыми выражениями, так как у них нет общих множителей. Поэтому их наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен их произведению: $a(a+b)$.

Приведем первую дробь к новому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $a$:

$\frac{b}{a+b} = \frac{b \cdot a}{(a+b) \cdot a} = \frac{ab}{a(a+b)}$

Приведем вторую дробь к новому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $(a+b)$:

$\frac{13b}{a} = \frac{13b \cdot (a+b)}{a \cdot (a+b)} = \frac{13ab + 13b^2}{a(a+b)}$

Ответ: $\frac{ab}{a(a+b)}$ и $\frac{13ab + 13b^2}{a(a+b)}$.

б) Рассмотрим дроби $\frac{1+a}{a^2}$ и $\frac{a-1}{a-4}$. Знаменатели $a^2$ и $a-4$ не имеют общих множителей. Следовательно, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $a^2(a-4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $a-4$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{1+a}{a^2} = \frac{(1+a)(a-4)}{a^2(a-4)} = \frac{a-4+a^2-4a}{a^2(a-4)} = \frac{a^2-3a-4}{a^2(a-4)}$

Дополнительный множитель для второй дроби равен $a^2$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{a-1}{a-4} = \frac{(a-1)a^2}{(a-4)a^2} = \frac{a^3-a^2}{a^2(a-4)}$

Ответ: $\frac{a^2-3a-4}{a^2(a-4)}$ и $\frac{a^3-a^2}{a^2(a-4)}$.

в) Даны дроби $\frac{2c}{b}$ и $\frac{b}{b-c}$. Знаменатели $b$ и $b-c$ не имеют общих множителей. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $b(b-c)$.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $b-c$:

$\frac{2c}{b} = \frac{2c(b-c)}{b(b-c)} = \frac{2bc - 2c^2}{b(b-c)}$

Для второй дроби дополнительный множитель равен $b$:

$\frac{b}{b-c} = \frac{b \cdot b}{(b-c) \cdot b} = \frac{b^2}{b(b-c)}$

Ответ: $\frac{2bc - 2c^2}{b(b-c)}$ и $\frac{b^2}{b(b-c)}$.

г) Даны дроби $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{x+3}{x^3}$. Знаменатели $x+y$ и $x^3$ не имеют общих множителей. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $x^3(x+y)$.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $x^3$:

$\frac{x-y}{x+y} = \frac{(x-y)x^3}{(x+y)x^3} = \frac{x^4 - x^3y}{x^3(x+y)}$

Для второй дроби дополнительный множитель равен $x+y$:

$\frac{x+3}{x^3} = \frac{(x+3)(x+y)}{x^3(x+y)} = \frac{x^2+xy+3x+3y}{x^3(x+y)}$

Ответ: $\frac{x^4 - x^3y}{x^3(x+y)}$ и $\frac{x^2+xy+3x+3y}{x^3(x+y)}$.