Номер 2.17, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.17, страница 20.

Условие.

2.17 а) $ \frac{y}{x} $ и $ \frac{x}{y} $;

б) $ \frac{a}{2b^2} $ и $ \frac{b}{2a^2} $;

в) $ \frac{n}{m^2} $ и $ \frac{m}{n^2} $;

г) $ \frac{3c^2}{5t} $ и $ \frac{t^2}{5c} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это будет их наименьший общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

а)

Даны дроби $\frac{y}{x}$ и $\frac{x}{y}$.
Знаменатели этих дробей — $x$ и $y$.
Наименьший общий знаменатель для них — это их произведение, то есть $xy$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для дроби $\frac{y}{x}$ дополнительный множитель: $xy \div x = y$.
Для дроби $\frac{x}{y}$ дополнительный множитель: $xy \div y = x$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{y}{x} = \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{y^2}{xy}$
$\frac{x}{y} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} = \frac{x^2}{xy}$
Ответ: $\frac{y^2}{xy}$ и $\frac{x^2}{xy}$.

б)

Даны дроби $\frac{a}{2b^2}$ и $\frac{b}{2a^2}$.
Знаменатели дробей: $2b^2$ и $2a^2$.
Наименьший общий знаменатель состоит из НОК числовых коэффициентов и НОК буквенных выражений. НОК для $2$ и $2$ равно $2$. НОК для $b^2$ и $a^2$ равно $a^2b^2$. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $2a^2b^2$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{a}{2b^2}$ равен $2a^2b^2 \div 2b^2 = a^2$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{b}{2a^2}$ равен $2a^2b^2 \div 2a^2 = b^2$.
Выполним умножение:
$\frac{a}{2b^2} = \frac{a \cdot a^2}{2b^2 \cdot a^2} = \frac{a^3}{2a^2b^2}$
$\frac{b}{2a^2} = \frac{b \cdot b^2}{2a^2 \cdot b^2} = \frac{b^3}{2a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^3}{2a^2b^2}$ и $\frac{b^3}{2a^2b^2}$.

в)

Даны дроби $\frac{n}{m^2}$ и $\frac{m}{n^2}$.
Знаменатели дробей: $m^2$ и $n^2$.
Наименьший общий знаменатель для них — $m^2n^2$.
Найдем дополнительные множители:
Для дроби $\frac{n}{m^2}$: $m^2n^2 \div m^2 = n^2$.
Для дроби $\frac{m}{n^2}$: $m^2n^2 \div n^2 = m^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{n}{m^2} = \frac{n \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} = \frac{n^3}{m^2n^2}$
$\frac{m}{n^2} = \frac{m \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} = \frac{m^3}{m^2n^2}$
Ответ: $\frac{n^3}{m^2n^2}$ и $\frac{m^3}{m^2n^2}$.

г)

Даны дроби $\frac{3c^2}{5t}$ и $\frac{t^2}{5c}$.
Знаменатели дробей: $5t$ и $5c$.
Наименьший общий знаменатель для $5t$ и $5c$ равен $5ct$.
Найдем дополнительные множители:
Для дроби $\frac{3c^2}{5t}$: $5ct \div 5t = c$.
Для дроби $\frac{t^2}{5c}$: $5ct \div 5c = t$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3c^2}{5t} = \frac{3c^2 \cdot c}{5t \cdot c} = \frac{3c^3}{5ct}$
$\frac{t^2}{5c} = \frac{t^2 \cdot t}{5c \cdot t} = \frac{t^3}{5ct}$
Ответ: $\frac{3c^3}{5ct}$ и $\frac{t^3}{5ct}$.