Номер 2.24, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби - номер 2.24, страница 21.

Условие.

2.24 а) $ \frac{b}{2a} $ и $ \frac{a+b}{a(a-b)} $;

б) $ \frac{a-1}{a^2} $ и $ \frac{a+1}{a(a-1)} $;

в) $ \frac{m-n}{m(m+n)} $ и $ \frac{n}{3m} $;

г) $ \frac{m-4}{m(m+2)} $ и $ \frac{m-2}{m^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{2a}$ и $\frac{a+b}{a(a-b)}$ к общему знаменателю, сначала найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Разложим знаменатели на множители: $2a = 2 \cdot a$ и $a(a-b) = a \cdot (a-b)$.
НОЗ должен содержать все множители из каждого знаменателя в наивысшей встречающейся степени. Таким образом, НОЗ = $2 \cdot a \cdot (a-b) = 2a(a-b)$.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби, разделив НОЗ на ее знаменатель: $\frac{2a(a-b)}{2a} = a-b$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель: $\frac{b}{2a} = \frac{b \cdot (a-b)}{2a \cdot (a-b)} = \frac{ab - b^2}{2a(a-b)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{2a(a-b)}{a(a-b)} = 2$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби: $\frac{a+b}{a(a-b)} = \frac{(a+b) \cdot 2}{a(a-b) \cdot 2} = \frac{2a+2b}{2a(a-b)}$.
Ответ: $\frac{ab-b^2}{2a(a-b)}$ и $\frac{2a+2b}{2a(a-b)}$.

б) Приведем дроби $\frac{a-1}{a^2}$ и $\frac{a+1}{a(a-1)}$ к общему знаменателю.
Знаменатели: $a^2$ и $a(a-1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $a^2(a-1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a^2(a-1)}{a^2} = a-1$.
Первая дробь: $\frac{a-1}{a^2} = \frac{(a-1)(a-1)}{a^2(a-1)} = \frac{(a-1)^2}{a^2(a-1)} = \frac{a^2-2a+1}{a^2(a-1)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2(a-1)}{a(a-1)} = a$.
Вторая дробь: $\frac{a+1}{a(a-1)} = \frac{(a+1)a}{a(a-1)a} = \frac{a^2+a}{a^2(a-1)}$.
Ответ: $\frac{a^2-2a+1}{a^2(a-1)}$ и $\frac{a^2+a}{a^2(a-1)}$.

в) Приведем дроби $\frac{m-n}{m(m+n)}$ и $\frac{n}{3m^2}$ к общему знаменателю.
Знаменатели: $m(m+n)$ и $3m^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $3m^2(m+n)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3m^2(m+n)}{m(m+n)} = 3m$.
Первая дробь: $\frac{m-n}{m(m+n)} = \frac{(m-n)3m}{m(m+n)3m} = \frac{3m^2-3mn}{3m^2(m+n)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3m^2(m+n)}{3m^2} = m+n$.
Вторая дробь: $\frac{n}{3m^2} = \frac{n(m+n)}{3m^2(m+n)} = \frac{mn+n^2}{3m^2(m+n)}$.
Ответ: $\frac{3m^2-3mn}{3m^2(m+n)}$ и $\frac{mn+n^2}{3m^2(m+n)}$.

г) Приведем дроби $\frac{m-4}{m(m+2)}$ и $\frac{m-2}{m^2}$ к общему знаменателю.
Знаменатели: $m(m+2)$ и $m^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $m^2(m+2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{m^2(m+2)}{m(m+2)} = m$.
Первая дробь: $\frac{m-4}{m(m+2)} = \frac{(m-4)m}{m(m+2)m} = \frac{m^2-4m}{m^2(m+2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{m^2(m+2)}{m^2} = m+2$.
Вторая дробь: $\frac{m-2}{m^2} = \frac{(m-2)(m+2)}{m^2(m+2)} = \frac{m^2-4}{m^2(m+2)}$.
Ответ: $\frac{m^2-4m}{m^2(m+2)}$ и $\frac{m^2-4}{m^2(m+2)}$.