Номер 2.18, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.18, страница 20.

Условие.

2.18 а) $ \frac{a+b}{5a} $ и $ \frac{a-b}{10b} $;

б) $ \frac{7d^3}{60c} $ и $ \frac{5c^3}{36d} $;

в) $ \frac{3-x}{12y} $ и $ \frac{y+2}{4x} $;

г) $ \frac{2n^3}{27m^2} $ и $ \frac{7m^2}{30n} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы привести дроби $\frac{a+b}{5a}$ и $\frac{a-b}{10b}$ к общему знаменателю, нужно найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Знаменатели дробей: $5a$ и $10b$.
Наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 5 и 10 равно 10. Для переменных $a$ и $b$ общим знаменателем будет их произведение $ab$.
Таким образом, НОЗ равен $10ab$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $\frac{10ab}{5a} = 2b$. Для второй дроби: $\frac{10ab}{10b} = a$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{a+b}{5a} = \frac{(a+b) \cdot 2b}{5a \cdot 2b} = \frac{2ab + 2b^2}{10ab}$
$\frac{a-b}{10b} = \frac{(a-b) \cdot a}{10b \cdot a} = \frac{a^2 - ab}{10ab}$
Ответ: $\frac{2ab + 2b^2}{10ab}$ и $\frac{a^2 - ab}{10ab}$.

б) Даны дроби $\frac{7d^3}{60c}$ и $\frac{5c^3}{36d}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для $60c$ и $36d$.
Сначала найдем НОК для чисел 60 и 36. Разложим их на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$; $36 = 2^2 \cdot 3^2$.
НОК(60, 36) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Общий знаменатель для переменных $c$ и $d$ равен $cd$.
Следовательно, НОЗ равен $180cd$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{180cd}{60c} = 3d$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{180cd}{36d} = 5c$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{7d^3}{60c} = \frac{7d^3 \cdot 3d}{60c \cdot 3d} = \frac{21d^4}{180cd}$
$\frac{5c^3}{36d} = \frac{5c^3 \cdot 5c}{36d \cdot 5c} = \frac{25c^4}{180cd}$
Ответ: $\frac{21d^4}{180cd}$ и $\frac{25c^4}{180cd}$.

в) Даны дроби $\frac{3-x}{12y}$ и $\frac{y+2}{4x}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для $12y$ и $4x$.
НОК для чисел 12 и 4 равно 12. Общий знаменатель для переменных $y$ и $x$ равен $xy$.
Значит, НОЗ равен $12xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{12xy}{12y} = x$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{12xy}{4x} = 3y$.
Умножим числители и знаменатели на их дополнительные множители:
$\frac{3-x}{12y} = \frac{(3-x) \cdot x}{12y \cdot x} = \frac{3x - x^2}{12xy}$
$\frac{y+2}{4x} = \frac{(y+2) \cdot 3y}{4x \cdot 3y} = \frac{3y^2 + 6y}{12xy}$
Ответ: $\frac{3x - x^2}{12xy}$ и $\frac{3y^2 + 6y}{12xy}$.

г) Даны дроби $\frac{2n^3}{27m^2}$ и $\frac{7m^2}{30n}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для $27m^2$ и $30n$.
Сначала найдем НОК для чисел 27 и 30. Разложим их на простые множители: $27 = 3^3$; $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
НОК(27, 30) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$.
Общий знаменатель для переменных $m^2$ и $n$ равен $m^2n$.
Следовательно, НОЗ равен $270m^2n$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{270m^2n}{27m^2} = 10n$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{270m^2n}{30n} = 9m^2$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{2n^3}{27m^2} = \frac{2n^3 \cdot 10n}{27m^2 \cdot 10n} = \frac{20n^4}{270m^2n}$
$\frac{7m^2}{30n} = \frac{7m^2 \cdot 9m^2}{30n \cdot 9m^2} = \frac{63m^4}{270m^2n}$
Ответ: $\frac{20n^4}{270m^2n}$ и $\frac{63m^4}{270m^2n}$.