Номер 2.21, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.21, страница 20.

Условие.

2.21 a) $ \frac{8}{15a^2b^3} $ И $ \frac{3}{10a^3b^2}; $

б) $ \frac{7n+m}{63m^2n^4} $ И $ \frac{n-4m}{36m^3n^3}; $

в) $ \frac{11c}{28p^3q^{31}} $ И $ \frac{4c}{35p^8q}; $

г) $ \frac{2y^2-x}{24x^2y^3} $ И $ \frac{8y+5x^2}{60x^4y}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходные дроби: $ \frac{8}{15a^2b^3} $ и $ \frac{3}{10a^3b^2} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей $ 15a^2b^3 $ и $ 10a^3b^2 $.
1. Найдем НОК числовых коэффициентов 15 и 10. Разложим их на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $; $ 10 = 2 \cdot 5 $. НОК(15, 10) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.
2. Для переменных в знаменателе выберем каждую переменную с наибольшим показателем степени. Для переменной $ a $ это $ a^3 $, для переменной $ b $ это $ b^3 $.
3. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $ 30a^3b^3 $.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{30a^3b^3}{15a^2b^3} = 2a $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{30a^3b^3}{10a^3b^2} = 3b $.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{8}{15a^2b^3} = \frac{8 \cdot 2a}{15a^2b^3 \cdot 2a} = \frac{16a}{30a^3b^3} $.
$ \frac{3}{10a^3b^2} = \frac{3 \cdot 3b}{10a^3b^2 \cdot 3b} = \frac{9b}{30a^3b^3} $.
Ответ: $ \frac{16a}{30a^3b^3} $ и $ \frac{9b}{30a^3b^3} $.

б) Исходные дроби: $ \frac{7n+m}{63m^2n^4} $ и $ \frac{n-4m}{36m^3n^3} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ 63m^2n^4 $ и $ 36m^3n^3 $.
1. Найдем НОК коэффициентов 63 и 36. Разложим на простые множители: $ 63 = 3^2 \cdot 7 $; $ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $. НОК(63, 36) = $ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252 $.
2. Выберем переменные с наибольшими показателями степени: для $ m $ это $ m^3 $, для $ n $ это $ n^4 $.
3. НОЗ равен $ 252m^3n^4 $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ \frac{252m^3n^4}{63m^2n^4} = 4m $.
Для второй дроби: $ \frac{252m^3n^4}{36m^3n^3} = 7n $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{7n+m}{63m^2n^4} = \frac{(7n+m) \cdot 4m}{63m^2n^4 \cdot 4m} = \frac{28mn + 4m^2}{252m^3n^4} $.
$ \frac{n-4m}{36m^3n^3} = \frac{(n-4m) \cdot 7n}{36m^3n^3 \cdot 7n} = \frac{7n^2 - 28mn}{252m^3n^4} $.
Ответ: $ \frac{4m^2 + 28mn}{252m^3n^4} $ и $ \frac{7n^2 - 28mn}{252m^3n^4} $.

в) Исходные дроби: $ \frac{11c}{28p^3q^{31}} $ и $ \frac{4c}{35p^8q} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ 28p^3q^{31} $ и $ 35p^8q $.
1. Найдем НОК коэффициентов 28 и 35. Разложим на простые множители: $ 28 = 2^2 \cdot 7 $; $ 35 = 5 \cdot 7 $. НОК(28, 35) = $ 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 $.
2. Выберем переменные с наибольшими показателями степени: для $ p $ это $ p^8 $, для $ q $ это $ q^{31} $.
3. НОЗ равен $ 140p^8q^{31} $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ \frac{140p^8q^{31}}{28p^3q^{31}} = 5p^5 $.
Для второй дроби: $ \frac{140p^8q^{31}}{35p^8q} = 4q^{30} $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{11c}{28p^3q^{31}} = \frac{11c \cdot 5p^5}{28p^3q^{31} \cdot 5p^5} = \frac{55cp^5}{140p^8q^{31}} $.
$ \frac{4c}{35p^8q} = \frac{4c \cdot 4q^{30}}{35p^8q \cdot 4q^{30}} = \frac{16cq^{30}}{140p^8q^{31}} $.
Ответ: $ \frac{55cp^5}{140p^8q^{31}} $ и $ \frac{16cq^{30}}{140p^8q^{31}} $.

г) Исходные дроби: $ \frac{2y^2-x}{24x^2y^3} $ и $ \frac{8y+5x^2}{60x^4y} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ 24x^2y^3 $ и $ 60x^4y $.
1. Найдем НОК коэффициентов 24 и 60. Разложим на простые множители: $ 24 = 2^3 \cdot 3 $; $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $. НОК(24, 60) = $ 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $.
2. Выберем переменные с наибольшими показателями степени: для $ x $ это $ x^4 $, для $ y $ это $ y^3 $.
3. НОЗ равен $ 120x^4y^3 $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ \frac{120x^4y^3}{24x^2y^3} = 5x^2 $.
Для второй дроби: $ \frac{120x^4y^3}{60x^4y} = 2y^2 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2y^2-x}{24x^2y^3} = \frac{(2y^2-x) \cdot 5x^2}{24x^2y^3 \cdot 5x^2} = \frac{10x^2y^2 - 5x^3}{120x^4y^3} $.
$ \frac{8y+5x^2}{60x^4y} = \frac{(8y+5x^2) \cdot 2y^2}{60x^4y \cdot 2y^2} = \frac{16y^3 + 10x^2y^2}{120x^4y^3} $.
Ответ: $ \frac{10x^2y^2 - 5x^3}{120x^4y^3} $ и $ \frac{10x^2y^2 + 16y^3}{120x^4y^3} $.