Номер 2.14, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.14, страница 20.

Условие.

2.14 a) $ \frac{2ab}{a+b} $ и $ (a+b) $;

б) $ \frac{x-y}{x+y} $ и $ x^2 - xy + y^2 $;

в) $ (a-b) $ и $ \frac{a^2b}{a-b} $;

г) $ \frac{x+2}{x-2} $ и $ x^2 + 2x + 4 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти произведение дроби $\frac{2ab}{a+b}$ и выражения $(a+b)$, необходимо умножить числитель дроби на это выражение. Представим выражение $(a+b)$ в виде дроби $\frac{a+b}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{2ab}{a+b} \cdot (a+b) = \frac{2ab}{a+b} \cdot \frac{a+b}{1} = \frac{2ab \cdot (a+b)}{a+b}$

Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{2ab \cdot \cancel{(a+b)}}{\cancel{a+b}} = 2ab$

Ответ: $2ab$

б)

Чтобы найти произведение дроби $\frac{x-y}{x+y}$ и многочлена $x^2 - xy + y^2$, необходимо умножить числитель дроби на этот многочлен:

$\frac{x-y}{x+y} \cdot (x^2 - xy + y^2) = \frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y}$

Выражение $x^2 - xy + y^2$ является неполным квадратом разности. Это один из множителей в формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Поскольку в числителе нет множителя $(x+y)$, который мог бы сократиться со знаменателем, дальнейшее упрощение выражения невозможно. Ответ следует оставить в виде дроби.

Ответ: $\frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y}$

в)

Чтобы найти произведение выражения $(a-b)$ и дроби $\frac{a^2b}{a-b}$, необходимо умножить это выражение на числитель дроби. Представим выражение $(a-b)$ в виде дроби $\frac{a-b}{1}$ и выполним умножение:

$(a-b) \cdot \frac{a^2b}{a-b} = \frac{a-b}{1} \cdot \frac{a^2b}{a-b} = \frac{(a-b) \cdot a^2b}{a-b}$

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a-b \neq 0$):

$\frac{\cancel{(a-b)} \cdot a^2b}{\cancel{a-b}} = a^2b$

Ответ: $a^2b$

г)

Чтобы найти произведение дроби $\frac{x+2}{x-2}$ и многочлена $x^2 + 2x + 4$, необходимо умножить числитель дроби на этот многочлен:

$\frac{x+2}{x-2} \cdot (x^2 + 2x + 4) = \frac{(x+2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2}$

Выражение $x^2 + 2x + 4$ является неполным квадратом суммы. Это один из множителей в формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Для сокращения дроби в числителе должен быть множитель $(x-2)$, но вместо него там $(x+2)$. Следовательно, дальнейшее упрощение невозможно. Ответ следует оставить в виде дроби.

Ответ: $\frac{(x+2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2}$