Номер 2.7, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.7, страница 19.

Условие.

2.7 Вычислите:

а) $\frac{3^3 \cdot 12^4}{3^5 \cdot 4^2}$;

б) $\frac{14^7 \cdot 28^2}{7^9 \cdot 2^4}$;

в) $\frac{625 \cdot 15^3}{5^5 \cdot 3}$;

г) $\frac{11^5 \cdot 5^6}{25 \cdot 55^5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{3^3 \cdot 12^4}{3^5 \cdot 4^2}$, представим число 12 в виде произведения $3 \cdot 4$.
$\frac{3^3 \cdot 12^4}{3^5 \cdot 4^2} = \frac{3^3 \cdot (3 \cdot 4)^4}{3^5 \cdot 4^2}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{3^3 \cdot 3^4 \cdot 4^4}{3^5 \cdot 4^2}$
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{3^{3+4} \cdot 4^4}{3^5 \cdot 4^2} = \frac{3^7 \cdot 4^4}{3^5 \cdot 4^2}$
Теперь применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{7-5} \cdot 4^{4-2} = 3^2 \cdot 4^2$
Вычисляем результат:
$3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$.
Также можно использовать свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке: $3^2 \cdot 4^2 = (3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144$.
Ответ: 144.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{14^7 \cdot 28^2}{7^9 \cdot 2^4}$, разложим числа 14 и 28 на множители, используя основания 2 и 7: $14 = 2 \cdot 7$ и $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
$\frac{(2 \cdot 7)^7 \cdot (2^2 \cdot 7)^2}{7^9 \cdot 2^4}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{2^7 \cdot 7^7 \cdot (2^2)^2 \cdot 7^2}{7^9 \cdot 2^4} = \frac{2^7 \cdot 7^7 \cdot 2^4 \cdot 7^2}{7^9 \cdot 2^4}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{(2^7 \cdot 2^4) \cdot (7^7 \cdot 7^2)}{7^9 \cdot 2^4} = \frac{2^{7+4} \cdot 7^{7+2}}{7^9 \cdot 2^4} = \frac{2^{11} \cdot 7^9}{7^9 \cdot 2^4}$
Теперь сократим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{11-4} \cdot 7^{9-9} = 2^7 \cdot 7^0 = 2^7 \cdot 1 = 2^7$
Вычисляем результат:
$2^7 = 128$.
Ответ: 128.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{625 \cdot 15^3}{5^5 \cdot 3}$, представим числа 625 и 15 в виде степеней простых чисел: $625 = 5^4$ и $15 = 3 \cdot 5$. Учтем, что $3 = 3^1$.
$\frac{5^4 \cdot (3 \cdot 5)^3}{5^5 \cdot 3^1}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{5^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3}{5^5 \cdot 3^1}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:
$\frac{(5^4 \cdot 5^3) \cdot 3^3}{5^5 \cdot 3^1} = \frac{5^{4+3} \cdot 3^3}{5^5 \cdot 3^1} = \frac{5^7 \cdot 3^3}{5^5 \cdot 3^1}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$5^{7-5} \cdot 3^{3-1} = 5^2 \cdot 3^2$
Вычисляем результат:
$5^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225$.
Также можно записать как $(5 \cdot 3)^2 = 15^2 = 225$.
Ответ: 225.

г)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{11^5 \cdot 5^6}{25 \cdot 55^5}$, разложим числа 25 и 55 на простые множители: $25 = 5^2$ и $55 = 5 \cdot 11$.
$\frac{11^5 \cdot 5^6}{5^2 \cdot (5 \cdot 11)^5}$
Раскроем скобки в знаменателе:
$\frac{11^5 \cdot 5^6}{5^2 \cdot 5^5 \cdot 11^5}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:
$\frac{11^5 \cdot 5^6}{5^{2+5} \cdot 11^5} = \frac{11^5 \cdot 5^6}{5^7 \cdot 11^5}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{11^5}{11^5} \cdot \frac{5^6}{5^7} = 11^{5-5} \cdot 5^{6-7} = 11^0 \cdot 5^{-1} = 1 \cdot 5^{-1} = 5^{-1}$
Вычисляем результат, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.