Номер 2.2, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 2. Основное свойство алгебраической дроби. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2.2, страница 18.

Условие.

2.2 Является ли заданное равенство тождеством:

a) $\frac{x}{x + y} = \frac{xn}{xn + yn}$;

б) $\frac{c}{d} = \frac{c + s}{d + s}$;

в) $\frac{a - b}{a} = \frac{a^2 - ab}{a^2}$;

г) $\frac{mx + n}{qx + p} = \frac{m + n}{q + p}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы проверить, является ли равенство $ \frac{x}{x+y} = \frac{xn}{xn+yn} $ тождеством, преобразуем его правую часть. В знаменателе правой части вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$ \frac{xn}{xn+yn} = \frac{xn}{n(x+y)} $

При условии, что $ n \ne 0 $ и $ x+y \ne 0 $ (область допустимых значений), мы можем сократить дробь на $n$:

$ \frac{x \cdot n}{n(x+y)} = \frac{x}{x+y} $

В результате преобразования правая часть равенства стала идентична левой. Это означает, что равенство верно для всех допустимых значений переменных.

Ответ: да, является тождеством.

б) Рассмотрим равенство $ \frac{c}{d} = \frac{c+s}{d+s} $. Чтобы проверить, является ли оно тождеством, подставим конкретные числовые значения вместо переменных. Пусть $ c=1, d=2, s=3 $. Область допустимых значений ($ d \ne 0 $, $ d+s \ne 0 $) не нарушена.

Левая часть: $ \frac{c}{d} = \frac{1}{2} $

Правая часть: $ \frac{c+s}{d+s} = \frac{1+3}{2+3} = \frac{4}{5} $

Так как $ \frac{1}{2} \ne \frac{4}{5} $, равенство не выполняется. Поскольку мы нашли хотя бы один набор значений переменных, при котором равенство неверно, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является тождеством.

в) Рассмотрим равенство $ \frac{a-b}{a} = \frac{a^2-ab}{a^2} $. Преобразуем правую часть. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ \frac{a^2-ab}{a^2} = \frac{a(a-b)}{a^2} $

При условии, что $ a \ne 0 $ (область допустимых значений), мы можем сократить дробь на $a$:

$ \frac{a(a-b)}{a^2} = \frac{a-b}{a} $

Правая часть равенства после преобразования стала идентична левой. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, является тождеством.

г) Рассмотрим равенство $ \frac{mx+n}{qx+p} = \frac{m+n}{q+p} $. Проверим его, подставив произвольные числовые значения. Пусть $ m=1, n=2, q=3, p=4, x=2 $. Область допустимых значений ($ qx+p \ne 0 $, $ q+p \ne 0 $) не нарушена.

Левая часть: $ \frac{mx+n}{qx+p} = \frac{1 \cdot 2 + 2}{3 \cdot 2 + 4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Правая часть: $ \frac{m+n}{q+p} = \frac{1+2}{3+4} = \frac{3}{7} $

Поскольку $ \frac{2}{5} \ne \frac{3}{7} $, равенство неверно. Следовательно, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является тождеством.