Номер 1.40, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 1. Основные понятия. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 1.40, страница 17.

Условие.

1.40 Найдите все натуральные значения n, при которых заданная дробь является натуральным числом:

а) $ \frac{n+3}{n} $;

б) $ \frac{2n+5}{n} $;

в) $ \frac{6-n}{n} $;

г) $ \frac{45-7n}{n} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы дробь $\frac{n+3}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы её значение было целым и положительным. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$, и, следовательно, числитель $n+3$ и вся дробь всегда положительны. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{n+3}{n} = \frac{n}{n} + \frac{3}{n} = 1 + \frac{3}{n}$ Для того чтобы сумма $1 + \frac{3}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым неотрицательным числом. Так как $n$ натуральное, $\frac{3}{n}$ положительно, значит, $\frac{3}{n}$ должно быть натуральным числом. Это возможно только если $n$ является натуральным делителем числа 3. Натуральные делители числа 3: 1, 3. Проверим эти значения:
При $n=1$, дробь равна $\frac{1+3}{1} = 4$, что является натуральным числом.
При $n=3$, дробь равна $\frac{3+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$, что является натуральным числом. Следовательно, подходят значения $n=1$ и $n=3$.
Ответ: 1, 3.

б) Рассмотрим дробь $\frac{2n+5}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n>0$), то $2n+5>0$, и вся дробь положительна. Чтобы дробь была натуральным числом, ее значение должно быть целым. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{2n+5}{n} = \frac{2n}{n} + \frac{5}{n} = 2 + \frac{5}{n}$ Для того чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $\frac{5}{n}$ было целым числом. Так как $n$ — натуральное, то $\frac{5}{n}$ должно быть натуральным числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 5. Натуральные делители числа 5: 1, 5. Проверим эти значения:
При $n=1$, дробь равна $\frac{2(1)+5}{1} = 7$, что является натуральным числом.
При $n=5$, дробь равна $\frac{2(5)+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$, что является натуральным числом. Следовательно, подходят значения $n=1$ и $n=5$.
Ответ: 1, 5.

в) Рассмотрим дробь $\frac{6-n}{n}$. Чтобы она была натуральным числом, необходимо выполнение двух условий:
1. Дробь должна быть положительной. Так как знаменатель $n$ — натуральное число ($n>0$), то числитель должен быть положителен: $6-n>0$, откуда $n<6$.
2. Значение дроби должно быть целым. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{6-n}{n} = \frac{6}{n} - \frac{n}{n} = \frac{6}{n} - 1$ Чтобы это выражение было натуральным числом, оно должно быть целым и больше нуля. Условие целочисленности означает, что $\frac{6}{n}$ должно быть целым, то есть $n$ должно быть натуральным делителем числа 6. Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Совместим это с условием $n<6$. Получаем возможные значения $n$: 1, 2, 3. Проверим их:
При $n=1$, дробь равна $\frac{6-1}{1} = 5$ (натуральное).
При $n=2$, дробь равна $\frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (натуральное).
При $n=3$, дробь равна $\frac{6-3}{3} = \frac{3}{3} = 1$ (натуральное). Значение $n=6$ не подходит, так как дробь равна $\frac{6-6}{6}=0$, а 0 не является натуральным числом.
Ответ: 1, 2, 3.

г) Рассмотрим дробь $\frac{45-7n}{n}$. Чтобы она была натуральным числом, она должна быть положительной и целой.
1. Условие положительности: $\frac{45-7n}{n} > 0$. Так как $n$ — натуральное ($n>0$), то числитель должен быть положителен: $45-7n>0$, откуда $7n<45$, то есть $n < \frac{45}{7}$. Поскольку $6 < \frac{45}{7} < 7$, то $n$ может принимать натуральные значения от 1 до 6.
2. Условие целочисленности. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{45-7n}{n} = \frac{45}{n} - \frac{7n}{n} = \frac{45}{n} - 7$ Чтобы это выражение было целым, $\frac{45}{n}$ должно быть целым. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 45. Натуральные делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Совместим оба условия: $n$ должно быть делителем 45 и $n \le 6$. Выберем из списка делителей те, которые удовлетворяют этому условию. Подходящие значения: 1, 3, 5. Проверим их:
При $n=1$, дробь равна $\frac{45-7(1)}{1} = 38$ (натуральное).
При $n=3$, дробь равна $\frac{45-7(3)}{3} = \frac{45-21}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (натуральное).
При $n=5$, дробь равна $\frac{45-7(5)}{5} = \frac{45-35}{5} = \frac{10}{5} = 2$ (натуральное).
Ответ: 1, 3, 5.