Номер 1.41, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Параграф 1. Основные понятия - номер 1.41, страница 18.

Условие.

1.41 Придумайте реальную ситуацию, описываемую заданной математической моделью:

a) $\frac{12}{x} - \frac{12}{x+1} = 1;$

б) $\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2};$

в) $\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1};$

г) $\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Рассмотрим задачу на движение. Пусть турист должен пройти маршрут длиной 12 км. Обозначим его планируемую скорость как $x$ км/ч. Время, которое он затратил бы на прохождение маршрута с этой скоростью, составляет $t_1 = \frac{12}{x}$ часов. Предположим, что турист решил увеличить свою скорость на 1 км/ч, и она стала равна $(x+1)$ км/ч. В этом случае время на прохождение того же маршрута составило бы $t_2 = \frac{12}{x+1}$ часов. Уравнение $\frac{12}{x} - \frac{12}{x+1} = 1$ описывает ситуацию, в которой разница между временем, затраченным с первоначальной скоростью, и временем, затраченным с увеличенной скоростью, равна 1 часу. То есть, увеличив скорость, турист прошел путь на 1 час быстрее.

Ответ: Турист прошел 12 км с некоторой скоростью. Если бы его скорость была на 1 км/ч больше, он затратил бы на этот путь на 1 час меньше. Если $x$ км/ч — первоначальная скорость туриста, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{12}{x} - \frac{12}{x+1} = 1$.

б) Рассмотрим задачу на движение по воде. Пусть катер прошел 24 км по течению реки и 16 км против течения реки, затратив на оба пути одинаковое количество времени. Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Обозначим собственную скорость катера (скорость в стоячей воде) как $x$ км/ч. Тогда скорость катера по течению будет $(x+2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x-2)$ км/ч. Время движения по течению равно $t_1 = \frac{24}{x+2}$ часов. Время движения против течения равно $t_2 = \frac{16}{x-2}$ часов. Поскольку по условию $t_1 = t_2$, мы получаем уравнение $\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2}$.

Ответ: Катер проплыл 24 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на эти два участка пути одинаковое время. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Если $x$ км/ч — собственная скорость катера, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2}$.

в) Рассмотрим задачу на покупки. На сумму 20 условных единиц (у.е.) было куплено некоторое количество товара А, а на сумму 25 у.е. было куплено такое же количество товара Б. Известно, что цена за единицу товара Б на 1 у.е. выше, чем цена за единицу товара А. Обозначим цену товара А как $x$ у.е. за единицу. Тогда цена товара Б будет $(x+1)$ у.е. за единицу. Количество купленного товара А составляет $\frac{20}{x}$ единиц. Количество купленного товара Б составляет $\frac{25}{x+1}$ единиц. Так как количество купленных товаров одинаково, получаем уравнение $\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1}$.

Ответ: За 20 у.е. купили столько же единиц одного товара, сколько и другого товара за 25 у.е. При этом второй товар на 1 у.е. дороже первого. Если $x$ у.е. — цена первого товара, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1}$.

г) Рассмотрим задачу на движение по воде. Турист на моторной лодке проплыл 10 км против течения реки, а затем 9 км по течению. На весь путь он затратил 3 часа. Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Обозначим собственную скорость лодки как $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $(x-2)$ км/ч, а по течению — $(x+2)$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_1 = \frac{10}{x-2}$ часов. Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_2 = \frac{9}{x+2}$ часов. Общее время в пути равно сумме $t_1+t_2$, что по условию составляет 3 часа. Таким образом, мы получаем уравнение $\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3$.

Ответ: Моторная лодка прошла 10 км против течения реки и 9 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Если $x$ км/ч — собственная скорость лодки, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3$.