Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.41 Придумайте реальную ситуацию, описываемую заданной математической моделью:

a) $\frac{12}{x} - \frac{12}{x+1} = 1;$

б) $\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2};$

в) $\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1};$

г) $\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3.$

а) Рассмотрим задачу на движение. Пусть турист должен пройти маршрут длиной 12 км. Обозначим его планируемую скорость как $x$ км/ч. Время, которое он затратил бы на прохождение маршрута с этой скоростью, составляет $t_1 = \frac{12}{x}$ часов. Предположим, что турист решил увеличить свою скорость на 1 км/ч, и она стала равна $(x+1)$ км/ч. В этом случае время на прохождение того же маршрута составило бы $t_2 = \frac{12}{x+1}$ часов. Уравнение $\frac{12}{x} - \frac{12}{x+1} = 1$ описывает ситуацию, в которой разница между временем, затраченным с первоначальной скоростью, и временем, затраченным с увеличенной скоростью, равна 1 часу. То есть, увеличив скорость, турист прошел путь на 1 час быстрее.

Ответ: Турист прошел 12 км с некоторой скоростью. Если бы его скорость была на 1 км/ч больше, он затратил бы на этот путь на 1 час меньше. Если $x$ км/ч — первоначальная скорость туриста, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{12}{x} - \frac{12}{x+1} = 1$.

б) Рассмотрим задачу на движение по воде. Пусть катер прошел 24 км по течению реки и 16 км против течения реки, затратив на оба пути одинаковое количество времени. Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Обозначим собственную скорость катера (скорость в стоячей воде) как $x$ км/ч. Тогда скорость катера по течению будет $(x+2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x-2)$ км/ч. Время движения по течению равно $t_1 = \frac{24}{x+2}$ часов. Время движения против течения равно $t_2 = \frac{16}{x-2}$ часов. Поскольку по условию $t_1 = t_2$, мы получаем уравнение $\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2}$.

Ответ: Катер проплыл 24 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на эти два участка пути одинаковое время. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Если $x$ км/ч — собственная скорость катера, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{24}{x+2} = \frac{16}{x-2}$.

в) Рассмотрим задачу на покупки. На сумму 20 условных единиц (у.е.) было куплено некоторое количество товара А, а на сумму 25 у.е. было куплено такое же количество товара Б. Известно, что цена за единицу товара Б на 1 у.е. выше, чем цена за единицу товара А. Обозначим цену товара А как $x$ у.е. за единицу. Тогда цена товара Б будет $(x+1)$ у.е. за единицу. Количество купленного товара А составляет $\frac{20}{x}$ единиц. Количество купленного товара Б составляет $\frac{25}{x+1}$ единиц. Так как количество купленных товаров одинаково, получаем уравнение $\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1}$.

Ответ: За 20 у.е. купили столько же единиц одного товара, сколько и другого товара за 25 у.е. При этом второй товар на 1 у.е. дороже первого. Если $x$ у.е. — цена первого товара, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1}$.

г) Рассмотрим задачу на движение по воде. Турист на моторной лодке проплыл 10 км против течения реки, а затем 9 км по течению. На весь путь он затратил 3 часа. Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Обозначим собственную скорость лодки как $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $(x-2)$ км/ч, а по течению — $(x+2)$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_1 = \frac{10}{x-2}$ часов. Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_2 = \frac{9}{x+2}$ часов. Общее время в пути равно сумме $t_1+t_2$, что по условию составляет 3 часа. Таким образом, мы получаем уравнение $\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3$.

Ответ: Моторная лодка прошла 10 км против течения реки и 9 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Если $x$ км/ч — собственная скорость лодки, то данная ситуация описывается уравнением $\frac{10}{x-2} + \frac{9}{x+2} = 3$.

2.1 Используя основное свойство алгебраической дроби, замените символ * алгебраическим или числовым выражением так, чтобы получилось верное равенство:

а) $ \frac{4b}{7} = \frac{*}{21a} $

б) $ \frac{-a}{b} = \frac{a^2}{*} $

в) $ \frac{m^2}{n} = \frac{*}{5rn} $

г) $ \frac{-pq}{p^2s} = \frac{-q}{*} $

Основное свойство алгебраической дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится дробь, равная данной. Используем это свойство для решения каждого пункта.

а) Дано равенство $\frac{4b}{7} = \frac{*}{21a}$.

Чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо $*$, определим, на какой множитель был умножен знаменатель первой дроби. Для этого разделим новый знаменатель на исходный: $\frac{21a}{7} = 3a$.

Это дополнительный множитель. Согласно основному свойству дроби, мы должны умножить числитель первой дроби на этот же множитель, чтобы равенство было верным:

$* = 4b \cdot 3a = 12ab$.

Таким образом, получаем: $\frac{4b}{7} = \frac{12ab}{21a}$.

Ответ: $12ab$

б) Дано равенство $\frac{-a}{b} = \frac{a^2}{*}$.

Определим, на какой множитель был умножен числитель первой дроби, чтобы получить числитель второй. Разделим новый числитель на исходный: $\frac{a^2}{-a} = -a$.

Чтобы сохранить равенство, знаменатель первой дроби также необходимо умножить на этот множитель $-a$:

$* = b \cdot (-a) = -ab$.

Таким образом, получаем: $\frac{-a}{b} = \frac{a^2}{-ab}$.

Ответ: $-ab$

в) Дано равенство $\frac{m^2}{n} = \frac{*}{5rn}$.

Найдем дополнительный множитель, на который был умножен знаменатель первой дроби: $\frac{5rn}{n} = 5r$.

Теперь умножим числитель первой дроби на этот же множитель $5r$:

$* = m^2 \cdot 5r = 5m^2r$.

Таким образом, получаем: $\frac{m^2}{n} = \frac{5m^2r}{5rn}$.

Ответ: $5m^2r$

г) Дано равенство $\frac{-pq}{p^2s} = \frac{-q}{*}$.

В этом случае дробь была сокращена. Определим, на какое выражение был разделен (сокращен) числитель первой дроби. Для этого разделим исходный числитель на новый: $\frac{-pq}{-q} = p$.

Согласно основному свойству дроби, мы должны разделить и знаменатель первой дроби на это же выражение $p$:

$* = \frac{p^2s}{p} = ps$.

Таким образом, получаем: $\frac{-pq}{p^2s} = \frac{-q}{ps}$.

Ответ: $ps$

2.2 Является ли заданное равенство тождеством:

a) $\frac{x}{x + y} = \frac{xn}{xn + yn}$;

б) $\frac{c}{d} = \frac{c + s}{d + s}$;

в) $\frac{a - b}{a} = \frac{a^2 - ab}{a^2}$;

г) $\frac{mx + n}{qx + p} = \frac{m + n}{q + p}$?

а) Чтобы проверить, является ли равенство $ \frac{x}{x+y} = \frac{xn}{xn+yn} $ тождеством, преобразуем его правую часть. В знаменателе правой части вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$ \frac{xn}{xn+yn} = \frac{xn}{n(x+y)} $

При условии, что $ n \ne 0 $ и $ x+y \ne 0 $ (область допустимых значений), мы можем сократить дробь на $n$:

$ \frac{x \cdot n}{n(x+y)} = \frac{x}{x+y} $

В результате преобразования правая часть равенства стала идентична левой. Это означает, что равенство верно для всех допустимых значений переменных.

Ответ: да, является тождеством.

б) Рассмотрим равенство $ \frac{c}{d} = \frac{c+s}{d+s} $. Чтобы проверить, является ли оно тождеством, подставим конкретные числовые значения вместо переменных. Пусть $ c=1, d=2, s=3 $. Область допустимых значений ($ d \ne 0 $, $ d+s \ne 0 $) не нарушена.

Левая часть: $ \frac{c}{d} = \frac{1}{2} $

Правая часть: $ \frac{c+s}{d+s} = \frac{1+3}{2+3} = \frac{4}{5} $

Так как $ \frac{1}{2} \ne \frac{4}{5} $, равенство не выполняется. Поскольку мы нашли хотя бы один набор значений переменных, при котором равенство неверно, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является тождеством.

в) Рассмотрим равенство $ \frac{a-b}{a} = \frac{a^2-ab}{a^2} $. Преобразуем правую часть. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ \frac{a^2-ab}{a^2} = \frac{a(a-b)}{a^2} $

При условии, что $ a \ne 0 $ (область допустимых значений), мы можем сократить дробь на $a$:

$ \frac{a(a-b)}{a^2} = \frac{a-b}{a} $

Правая часть равенства после преобразования стала идентична левой. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, является тождеством.

г) Рассмотрим равенство $ \frac{mx+n}{qx+p} = \frac{m+n}{q+p} $. Проверим его, подставив произвольные числовые значения. Пусть $ m=1, n=2, q=3, p=4, x=2 $. Область допустимых значений ($ qx+p \ne 0 $, $ q+p \ne 0 $) не нарушена.

Левая часть: $ \frac{mx+n}{qx+p} = \frac{1 \cdot 2 + 2}{3 \cdot 2 + 4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Правая часть: $ \frac{m+n}{q+p} = \frac{1+2}{3+4} = \frac{3}{7} $

Поскольку $ \frac{2}{5} \ne \frac{3}{7} $, равенство неверно. Следовательно, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является тождеством.

Сократите дробь:

2.3 a) $\frac{15ab}{12bc}$;

б) $\frac{14k^2l}{7kl^2}$;

в) $\frac{144xy}{63yz}$;

г) $\frac{135p^3q^2}{25q^2p}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{15ab}{12bc}$, необходимо найти и сократить общие множители числителя и знаменателя. Наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 15 и 12 равен 3. Переменная $b$ является общей для числителя и знаменателя. Сократим дробь на общий множитель $3b$: $\frac{15ab}{12bc} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 4 \cdot b \cdot c} = \frac{5a}{4c}$. Ответ: $\frac{5a}{4c}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{14k^2l}{7kl^2}$, найдем общие множители. НОД коэффициентов 14 и 7 равен 7. Для переменных используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Сокращаем отдельно коэффициенты и каждую переменную: $\frac{14}{7} \cdot \frac{k^2}{k^1} \cdot \frac{l^1}{l^2} = 2 \cdot k^{2-1} \cdot l^{1-2} = 2 \cdot k^1 \cdot l^{-1} = \frac{2k}{l}$. Ответ: $\frac{2k}{l}$

в) В дроби $\frac{144xy}{63yz}$ найдем НОД для чисел 144 и 63. Разложим их на простые множители: $144 = 2^4 \cdot 3^2$, $63 = 3^2 \cdot 7$. Их НОД равен $3^2=9$. Общей переменной в числителе и знаменателе является $y$. Разделим числитель и знаменатель на их общий множитель $9y$: $\frac{144xy}{63yz} = \frac{16 \cdot 9 \cdot x \cdot y}{7 \cdot 9 \cdot y \cdot z} = \frac{16x}{7z}$. Ответ: $\frac{16x}{7z}$

г) Сократим дробь $\frac{135p^3q^2}{25q^2p}$. НОД коэффициентов 135 и 25 равен 5 ($135 = 27 \cdot 5$, $25 = 5 \cdot 5$). Общими множителями для переменных являются $p$ и $q^2$. Проведем сокращение: $\frac{135}{25} \cdot \frac{p^3}{p} \cdot \frac{q^2}{q^2} = \frac{27 \cdot 5}{5 \cdot 5} \cdot p^{3-1} \cdot q^{2-2} = \frac{27}{5} \cdot p^2 \cdot q^0 = \frac{27p^2}{5}$ (так как $q^0=1$). Ответ: $\frac{27p^2}{5}$

2.4 a) $\frac{4(a-b)}{5(a-b)^2}$

б) $\frac{13(x+4)^3}{26x(x+4)}$

в) $\frac{8(k+l)^2}{9(k+l)^3}$

г) $\frac{48m(2m-n)^3}{60n(2m-n)^3}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4(a-b)}{5(a-b)^2}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе. Общим множителем является выражение $(a-b)$. Сократим дробь на $(a-b)$, учитывая, что $a-b \neq 0$.
$\frac{4(a-b)}{5(a-b)^2} = \frac{4 \cdot (a-b)}{5 \cdot (a-b) \cdot (a-b)} = \frac{4}{5(a-b)}$.
Ответ: $\frac{4}{5(a-b)}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{13(x+4)^3}{26x(x+4)}$, найдем общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты 13 и 26. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 13. $13 \div 13 = 1$, $26 \div 13 = 2$.
Затем сократим степени с основанием $(x+4)$. В числителе $(x+4)^3$, в знаменателе $(x+4)^1$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $(x+4)^{3-1} = (x+4)^2$.
Объединяем результаты: $\frac{13(x+4)^3}{26x(x+4)} = \frac{1 \cdot (x+4)^2}{2x} = \frac{(x+4)^2}{2x}$. Сокращение возможно при $x \neq 0$ и $x+4 \neq 0$.
Ответ: $\frac{(x+4)^2}{2x}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{8(k+l)^2}{9(k+l)^3}$, найдем общие множители. Числовые коэффициенты 8 и 9 являются взаимно простыми, поэтому они не сокращаются.
Сократим степени с основанием $(k+l)$. Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$ при $n > m$.
$\frac{(k+l)^2}{(k+l)^3} = \frac{1}{(k+l)^{3-2}} = \frac{1}{k+l}$.
Таким образом, дробь принимает вид: $\frac{8}{9(k+l)}$. Сокращение возможно при $k+l \neq 0$.
Ответ: $\frac{8}{9(k+l)}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{48m(2m-n)^3}{60n(2m-n)^3}$, найдем общие множители. Выражение $(2m-n)^3$ является общим множителем для числителя и знаменателя, сократим его (при условии $2m-n \neq 0$).
$\frac{48m\cancel{(2m-n)^3}}{60n\cancel{(2m-n)^3}} = \frac{48m}{60n}$.
Теперь сократим числовые коэффициенты 48 и 60. Их НОД равен 12.
$48 \div 12 = 4$, $60 \div 12 = 5$.
В результате получаем: $\frac{4m}{5n}$. Сокращение возможно при $n \neq 0$ и $2m-n \neq 0$.
Ответ: $\frac{4m}{5n}$