Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило сложения алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Полученная сумма числителей становится числителем новой дроби, а общий знаменатель — её знаменателем.

Если представить алгебраические дроби в виде $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$, где $A$, $B$ и $C$ являются многочленами (причем многочлен $C$ не равен нулю), то правило сложения можно записать в виде формулы:

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

Ответ: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

Правило вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть одну алгебраическую дробь из другой с таким же знаменателем, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений. Полученная разность числителей становится числителем новой дроби, а общий знаменатель — её знаменателем.

Если представить алгебраические дроби в виде $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$, где $A$, $B$ и $C$ являются многочленами (причем многочлен $C$ не равен нулю), то правило вычитания можно записать в виде формулы:

$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$

Ответ: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$

3. Если после выполнения сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями у вас получилась дробь $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$, можно ли закончить на этом решение? Если нет, то что ещё надо сделать?

Можно ли закончить на этом решение?

Нет, решение нельзя считать законченным, если в результате получилась дробь $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$. В алгебре принято всегда упрощать полученные выражения до их простейшего вида. Данная дробь не является несократимой, а значит, её можно и нужно упростить.

Ответ: Нет, нельзя.

Что ещё надо сделать?

Необходимо сократить полученную дробь. Для этого следует выполнить следующие шаги:

1. Разложить числитель на множители. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Используем формулу сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
   $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
2. Подставить разложенный числитель в дробь.
   $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$.
3. Сократить дробь. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(x + 2)$, на который можно сократить дробь. Важно помнить, что это действие возможно при условии $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.
   $\frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}} = x - 2$.

Таким образом, итоговым, упрощенным результатом является выражение $x - 2$.

Ответ: Необходимо сократить дробь, разложив её числитель на множители по формуле разности квадратов. Результатом упрощения будет выражение $x-2$.

2. Запишите правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями на математическом языке.

Чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно выполнить соответствующее действие (сложение или вычитание) с их числителями, а знаменатель оставить без изменений. При этом важно помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Пусть $A$, $B$ и $C$ — многочлены, причем $C \neq 0$.

Правило сложения

Суммой двух алгебраических дробей с одинаковым знаменателем является дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель равен их общему знаменателю.

Ответ: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$

Правило вычитания

Разностью двух алгебраических дробей с одинаковым знаменателем является дробь, числитель которой равен разности числителей исходных дробей, а знаменатель равен их общему знаменателю.

Ответ: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$

1.26 a) $ \frac{a^2 + 5}{(a - 1)^2}; $

б) $ \frac{b^2 + 12}{4b^2 - 4b + 1}; $

в) $ \frac{12c^2 - 7}{(c + 3)^2}; $

г) $ \frac{27m^3 - 15}{4m^2 + 36m + 81}. $

а) Данное выражение $\frac{a^2 + 5}{(a - 1)^2}$ является дробным. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения переменной $a$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(a - 1)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a - 1 = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 1$

Таким образом, при $a = 1$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a=1$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $a$ таких, что $a \neq 1$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{b^2 + 12}{4b^2 - 4b + 1}$. Это дробь, которая имеет смысл, если ее знаменатель отличен от нуля. Найдем значения $b$, при которых знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4b^2 - 4b + 1 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности. Используем формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=2b$ и $y=1$:

$(2b - 1)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$2b - 1 = 0$

Решим это линейное уравнение:

$2b = 1$

$b = \frac{1}{2}$

Значит, при $b = \frac{1}{2}$ знаменатель обращается в ноль. Выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b = \frac{1}{2}$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $b$ таких, что $b \neq \frac{1}{2}$.

в) Выражение $\frac{12c^2 - 7}{(c + 3)^2}$ является дробью. Оно определено для всех значений переменной $c$, при которых знаменатель не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:

$(c + 3)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень:

$c + 3 = 0$

Отсюда:

$c = -3$

Таким образом, выражение не имеет смысла при $c = -3$. Для всех остальных значений $c$ выражение определено.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $c$ таких, что $c \neq -3$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{27m^3 - 15}{4m^2 + 36m + 81}$. Чтобы найти, при каких значениях переменной это дробное выражение имеет смысл, необходимо исключить значения $m$, при которых знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4m^2 + 36m + 81 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=2m$ и $y=9$:

$(2m + 9)^2 = 0$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$2m + 9 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$2m = -9$

$m = -\frac{9}{2}$

Следовательно, при $m = -\frac{9}{2}$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Для всех других значений $m$ выражение определено.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $m$ таких, что $m \neq -\frac{9}{2}$.

1.27 a) $ \frac{7a^2 - 5}{(a + 8)(a - 9)(a + 17)} $

б) $ \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b + 1)(3b + 4)(3b - 8)} $

в) $ \frac{73c^3 - 8}{(4c - 2)(7c + 8)(13c + 39)} $

г) $ \frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{(d + 1)(4d + 4)(7d + 5)} $

a) Требуется разложить дробь $\frac{7a^2 - 5}{(a+8)(a-9)(a+17)}$ на сумму простейших дробей. Поскольку знаменатель состоит из трех различных линейных множителей, разложение будет иметь вид: $ \frac{7a^2 - 5}{(a+8)(a-9)(a+17)} = \frac{A}{a+8} + \frac{B}{a-9} + \frac{C}{a+17} $ Для нахождения коэффициентов $A, B, C$ умножим обе части на знаменатель $(a+8)(a-9)(a+17)$: $ 7a^2 - 5 = A(a-9)(a+17) + B(a+8)(a+17) + C(a+8)(a-9) $ Будем подставлять в это равенство корни знаменателя: $a=-8, a=9, a=-17$.

1. При $a = -8$:
$ 7(-8)^2 - 5 = A(-8-9)(-8+17) + B(0) + C(0) $
$ 7(64) - 5 = A(-17)(9) $
$ 448 - 5 = -153A $
$ 443 = -153A \implies A = -\frac{443}{153} $

2. При $a = 9$:
$ 7(9)^2 - 5 = A(0) + B(9+8)(9+17) + C(0) $
$ 7(81) - 5 = B(17)(26) $
$ 567 - 5 = 442B $
$ 562 = 442B \implies B = \frac{562}{442} = \frac{281}{221} $

3. При $a = -17$:
$ 7(-17)^2 - 5 = A(0) + B(0) + C(-17+8)(-17-9) $
$ 7(289) - 5 = C(-9)(-26) $
$ 2023 - 5 = 234C $
$ 2018 = 234C \implies C = \frac{2018}{234} = \frac{1009}{117} $

Подставляем найденные коэффициенты в разложение: $ \frac{7a^2 - 5}{(a+8)(a-9)(a+17)} = -\frac{443}{153(a+8)} + \frac{281}{221(a-9)} + \frac{1009}{117(a+17)} $

Ответ: $ -\frac{443}{153(a+8)} + \frac{281}{221(a-9)} + \frac{1009}{117(a+17)} $

б) Требуется разложить дробь $\frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b+4)(3b-8)}$. Степень числителя (3) равна степени знаменателя (3), следовательно, дробь неправильная. Сначала нужно выделить целую часть. Целая часть равна отношению коэффициентов при старших степенях: $ D = \frac{101}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{101}{18} $ Разложение ищем в виде: $ \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b+4)(3b-8)} = \frac{101}{18} + \frac{A}{2b+1} + \frac{B}{3b+4} + \frac{C}{3b-8} $ Коэффициенты $A, B, C$ находим методом частных значений (метод Хевисайда).

1. Для $A$ (при $b = -1/2$):
$ A = \left. \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(3b+4)(3b-8)} \right|_{b=-1/2} = \frac{101(-1/8) - 58(1/4) + 5}{(3(-1/2)+4)(3(-1/2)-8)} = \frac{(-101-116+40)/8}{(-3/2+8/2)(-3/2-16/2)} = \frac{-177/8}{(5/2)(-19/2)} = \frac{-177/8}{-95/4} = \frac{177 \cdot 4}{8 \cdot 95} = \frac{177}{190} $

2. Для $B$ (при $b = -4/3$):
$ B = \left. \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b-8)} \right|_{b=-4/3} = \frac{101(-64/27) - 58(16/9) + 5}{(2(-4/3)+1)(3(-4/3)-8)} = \frac{(-6464 - 2784 + 135)/27}{(-8/3+3/3)(-4-8)} = \frac{-9113/27}{(-5/3)(-12)} = \frac{-9113/27}{20} = -\frac{9113}{540} $

3. Для $C$ (при $b = 8/3$):
$ C = \left. \frac{101b^3 - 58b^2 + 5}{(2b+1)(3b+4)} \right|_{b=8/3} = \frac{101(512/27) - 58(64/9) + 5}{(2(8/3)+1)(3(8/3)+4)} = \frac{(51712 - 11136 + 135)/27}{(16/3+3/3)(8+4)} = \frac{40711/27}{(19/3)(12)} = \frac{40711/27}{76} = \frac{40711}{2052} $

Ответ: $ \frac{101}{18} + \frac{177}{190(2b+1)} - \frac{9113}{540(3b+4)} + \frac{40711}{2052(3b-8)} $

в) Требуется разложить дробь $\frac{73c^3 - 8}{(4c-2)(7c+8)(13c+39)}$. Упростим знаменатель: $(4c-2)(7c+8)(13c+39) = 2(2c-1)(7c+8)13(c+3) = 26(2c-1)(7c+8)(c+3)$. Дробь неправильная, так как степени числителя и знаменателя равны 3. Выделяем целую часть: $ D = \frac{73}{4 \cdot 7 \cdot 13} = \frac{73}{364} $ Разложение ищем в виде: $ \frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)} = \frac{73}{364} + \frac{A}{2c-1} + \frac{B}{7c+8} + \frac{C}{c+3} $

1. Для $A$ (при $c=1/2$):
$ A = \left. (2c-1)\left(\frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)}\right) \right|_{c=1/2} = \frac{1}{26} \frac{73(1/8)-8}{(7/2+8)(1/2+3)} = \frac{1}{26} \frac{9/8}{(23/2)(7/2)} = \frac{1}{26}\frac{9/8}{161/4} = \frac{9}{8372} $

2. Для $B$ (при $c=-8/7$):
$ B = \left. (7c+8)\left(\frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)}\right) \right|_{c=-8/7} = \frac{1}{26} \frac{73(-8/7)^3-8}{(2(-8/7)-1)(-8/7+3)} = \frac{1}{26} \frac{-40120/343}{(-23/7)(13/7)} = \frac{1}{26} \frac{-40120/343}{-299/49} = \frac{20060}{27209} $

3. Для $C$ (при $c=-3$):
$ C = \left. (c+3)\left(\frac{73c^3 - 8}{26(2c-1)(7c+8)(c+3)}\right) \right|_{c=-3} = \frac{1}{26} \frac{73(-27)-8}{(2(-3)-1)(7(-3)+8)} = \frac{1}{26} \frac{-1979}{(-7)(-13)} = -\frac{1979}{2366} $

Ответ: $ \frac{73}{364} + \frac{9}{8372(2c-1)} + \frac{20060}{27209(7c+8)} - \frac{1979}{2366(c+3)} $

г) Требуется разложить дробь $\frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{(d+1)(4d+4)(7d+5)}$. Упростим знаменатель: $(d+1) \cdot 4(d+1) \cdot (7d+5) = 4(d+1)^2(7d+5)$. Дробь неправильная. Выделим целую часть: $ D = \frac{1}{4 \cdot 1 \cdot 7} = \frac{1}{28} $ Знаменатель содержит кратный корень, поэтому разложение ищем в виде: $ \frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{4(d+1)^2(7d+5)} = \frac{1}{28} + \frac{A}{d+1} + \frac{B}{(d+1)^2} + \frac{C}{7d+5} $

1. Для $B$ (кратный корень $d=-1$):
$ B = \left. (d+1)^2 \left(\frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{4(d+1)^2(7d+5)}\right) \right|_{d=-1} = \frac{(-1)^3 + 4(-1)^2 + 8(-1) - 16}{4(7(-1)+5)} = \frac{-1+4-8-16}{4(-2)} = \frac{-21}{-8} = \frac{21}{8} $

2. Для $C$ (корень $d=-5/7$):
$ C = \left. (7d+5) \left(\frac{d^3 + 4d^2 + 8d - 16}{4(d+1)^2(7d+5)}\right) \right|_{d=-5/7} = \frac{(-5/7)^3 + 4(-5/7)^2 + 8(-5/7) - 16}{4(-5/7+1)^2} = \frac{-125/343 + 100/49 - 40/7 - 16}{4(2/7)^2} = \frac{(-125+700-1960-5488)/343}{16/49} = \frac{-6873/343}{16/49} = -\frac{6873}{112} $

3. Для $A$, подставим в разложение значение $d=0$:
$ \frac{0+0+0-16}{4(1)^2(5)} = \frac{1}{28} + \frac{A}{1} + \frac{B}{1^2} + \frac{C}{5} $
$ -\frac{16}{20} = \frac{1}{28} + A + \frac{21}{8} + \frac{-6873/112}{5} $
$ -\frac{4}{5} = \frac{1}{28} + A + \frac{21}{8} - \frac{6873}{560} $
$ A = -\frac{4}{5} - \frac{1}{28} - \frac{21}{8} + \frac{6873}{560} = \frac{-4(112) - 20 - 21(70) + 6873}{560} = \frac{-448-20-1470+6873}{560} = \frac{4935}{560} = \frac{987}{112} = \frac{141}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{28} + \frac{141}{16(d+1)} + \frac{21}{8(d+1)^2} - \frac{6873}{112(7d+5)} $

1.28 a) $ \frac{3b + 2}{3b(3b - 2)^2} $

б) $ \frac{14k^2 + 14}{(k^2 - 9)(k^2 + 1)} $

в) $ \frac{2s - 1}{2s(2s + 1)^2} $

г) $ \frac{8m^2 + 16}{(m^2 + 2)(m^2 - 4)} $

а) Дана дробь $\frac{3b+2}{3b(3b-2)^2}$. Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие из них.
Числитель дроби, $3b+2$, представляет собой многочлен первой степени, который обращается в ноль при $b = -2/3$.
Знаменатель дроби, $3b(3b-2)^2$, обращается в ноль при $b=0$ и при $3b-2=0$, то есть $b=2/3$.
Поскольку корни числителя и знаменателя не совпадают, у них нет общих многочленных множителей. Таким образом, данная дробь является несократимой.
Ответ: Дробь $\frac{3b+2}{3b(3b-2)^2}$ несократима.

б) Рассмотрим дробь $\frac{14k^2 + 14}{(k^2 - 9)(k^2 + 1)}$.
Для начала, вынесем общий множитель 14 за скобки в числителе:
$14k^2 + 14 = 14(k^2 + 1)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{14(k^2 + 1)}{(k^2 - 9)(k^2 + 1)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой дроби определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(k^2 - 9)(k^2 + 1) \neq 0$. Так как $k^2+1$ всегда больше нуля, то условие сводится к $k^2 - 9 \neq 0$, то есть $k \neq \pm 3$.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(k^2 + 1)$. Сократим дробь на этот множитель:
$\frac{14\cancel{(k^2 + 1)}}{(k^2 - 9)\cancel{(k^2 + 1)}} = \frac{14}{k^2 - 9}$.
Ответ: $\frac{14}{k^2 - 9}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{2s-1}{2s(2s+1)^2}$.
Проверим возможность ее сокращения, найдя корни числителя и знаменателя.
Числитель $2s-1$ обращается в ноль при $s = 1/2$.
Знаменатель $2s(2s+1)^2$ обращается в ноль при $s=0$ и при $2s+1=0$, то есть $s=-1/2$.
Так как корни числителя и знаменателя не совпадают, у них нет общих множителей (кроме константы). Следовательно, дробь сократить нельзя.
Ответ: Дробь $\frac{2s-1}{2s(2s+1)^2}$ несократима.

г) Дана дробь $\frac{8m^2 + 16}{(m^2 + 2)(m^2 - 4)}$.
В числителе вынесем общий множитель 8 за скобки:
$8m^2 + 16 = 8(m^2 + 2)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{8(m^2 + 2)}{(m^2 + 2)(m^2 - 4)}$.
ОДЗ этой дроби: $(m^2 + 2)(m^2 - 4) \neq 0$. Так как $m^2+2 > 0$ для любых $m$, то $m^2 - 4 \neq 0$, откуда $m \neq \pm 2$.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(m^2 + 2)$. Сократим дробь на этот множитель:
$\frac{8\cancel{(m^2 + 2)}}{\cancel{(m^2 + 2)}(m^2 - 4)} = \frac{8}{m^2 - 4}$.
Знаменатель можно также разложить по формуле разности квадратов: $m^2 - 4 = (m-2)(m+2)$.
Ответ: $\frac{8}{m^2 - 4}$.

1.29 a) $ \frac{7a^2}{a^2(3a - 9)(a + 17)} $

б) $ \frac{3b + 4}{(2b + 1)(9b^2 - 16)} $

в) $ \frac{73c^2}{c^3(c + 8)(13c - 39)} $

г) $ \frac{2d - 1}{(4d^2 - 1)(7d + 5)} $

а) Требуется сократить дробь $ \frac{7a^2}{a^2(3a-9)(a+17)} $.

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители и сократить общие из них.

Рассмотрим знаменатель дроби: $ a^2(3a-9)(a+17) $. В выражении $ (3a-9) $ можно вынести общий множитель 3 за скобки:

$ 3a-9 = 3(a-3) $

Тогда знаменатель примет вид: $ a^2 \cdot 3(a-3)(a+17) $.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$ \frac{7a^2}{3a^2(a-3)(a+17)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ a^2 $. Сократим дробь на $ a^2 $ (при условии, что $ a \neq 0 $):

$ \frac{7 \cdot a^2}{3 \cdot a^2 (a-3)(a+17)} = \frac{7}{3(a-3)(a+17)} $

Таким образом, мы упростили исходное выражение. Выражение имеет смысл при $ a \neq 0 $, $ a \neq 3 $ и $ a \neq -17 $.

Ответ: $ \frac{7}{3(a-3)(a+17)} $.

б) Требуется сократить дробь $ \frac{3b+4}{(2b+1)(9b^2-16)} $.

Разложим знаменатель на множители. Выражение $ (9b^2-16) $ является разностью квадратов, так как $ 9b^2 = (3b)^2 $ и $ 16 = 4^2 $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 9b^2 - 16 = (3b)^2 - 4^2 = (3b-4)(3b+4) $

Теперь подставим разложенный на множители двучлен обратно в знаменатель дроби:

$ \frac{3b+4}{(2b+1)(3b-4)(3b+4)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ (3b+4) $. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $ 3b+4 \neq 0 $, то есть $ b \neq -\frac{4}{3} $):

$ \frac{1 \cdot (3b+4)}{(2b+1)(3b-4)(3b+4)} = \frac{1}{(2b+1)(3b-4)} $

Выражение имеет смысл при $ b \neq -\frac{1}{2} $, $ b \neq \frac{4}{3} $ и $ b \neq -\frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{(2b+1)(3b-4)} $.

в) Требуется сократить дробь $ \frac{73c^2}{c^3(c+8)(13c-39)} $.

Разложим знаменатель на простейшие множители. В выражении $ (13c-39) $ можно вынести общий множитель 13 за скобки:

$ 13c-39 = 13(c-3) $

Подставим это в знаменатель дроби:

$ \frac{73c^2}{c^3(c+8) \cdot 13(c-3)} = \frac{73c^2}{13c^3(c+8)(c-3)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ c^2 $. Сократим дробь на $ c^2 $ (при условии, что $ c \neq 0 $). Учтем, что $ c^3 = c \cdot c^2 $:

$ \frac{73 \cdot c^2}{13 \cdot c \cdot c^2 (c+8)(c-3)} = \frac{73}{13c(c+8)(c-3)} $

Числа 73 и 13 являются простыми, поэтому дальнейшее сокращение невозможно. Выражение имеет смысл при $ c \neq 0 $, $ c \neq -8 $ и $ c \neq 3 $.

Ответ: $ \frac{73}{13c(c+8)(c-3)} $.

г) Требуется сократить дробь $ \frac{2d-1}{(4d^2-1)(7d+5)} $.

Разложим знаменатель на множители. Выражение $ (4d^2-1) $ представляет собой разность квадратов, так как $ 4d^2 = (2d)^2 $ и $ 1 = 1^2 $. Применим формулу $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 4d^2 - 1 = (2d)^2 - 1^2 = (2d-1)(2d+1) $

Подставим полученное разложение в исходную дробь:

$ \frac{2d-1}{(2d-1)(2d+1)(7d+5)} $

Числитель и знаменатель имеют общий множитель $ (2d-1) $. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $ 2d-1 \neq 0 $, то есть $ d \neq \frac{1}{2} $):

$ \frac{1 \cdot (2d-1)}{(2d-1)(2d+1)(7d+5)} = \frac{1}{(2d+1)(7d+5)} $

Выражение имеет смысл при $ d \neq \frac{1}{2} $, $ d \neq -\frac{1}{2} $ и $ d \neq -\frac{5}{7} $.

Ответ: $ \frac{1}{(2d+1)(7d+5)} $.

1.30 При каких значениях переменной алгебраическая дробь $ \frac{2m^2 - 2}{m(m + 1)(m - 2)} $ обращается в нуль, а при каких — не имеет смысла?

Когда дробь обращается в нуль:
Алгебраическая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
1. Найдем значения переменной $m$, при которых числитель $2m^2 - 2$ равен нулю:
$2m^2 - 2 = 0$
$2(m^2 - 1) = 0$
$m^2 - 1 = 0$
$(m - 1)(m + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $m_1 = 1$ и $m_2 = -1$.
2. Теперь найдем значения $m$, при которых знаменатель $m(m+1)(m-2)$ обращается в нуль. Эти значения являются недопустимыми.
$m(m+1)(m-2) = 0$
Это равенство выполняется при $m=0$, $m=-1$ или $m=2$.
3. Сопоставим результаты. Из значений, которые обращают числитель в нуль ($m=1$ и $m=-1$), нужно исключить те, которые являются недопустимыми.
- При $m = 1$, знаменатель равен $1(1+1)(1-2) = -2$, что не равно нулю. Следовательно, это значение является решением.
- При $m = -1$, знаменатель равен $-1(-1+1)(-1-2) = 0$. При этом значении дробь не определена (имеет вид $\frac{0}{0}$), поэтому оно не является решением.
Таким образом, дробь обращается в нуль только при $m=1$.
Ответ: при $m=1$.

Когда дробь не имеет смысла:
Алгебраическая дробь не имеет смысла (не определена), когда ее знаменатель равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти эти значения:
$m(m+1)(m-2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю.
1) $m = 0$
2) $m + 1 = 0 \Rightarrow m = -1$
3) $m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$
Следовательно, при этих трех значениях переменной дробь не имеет смысла.
Ответ: при $m=0, m=-1, m=2$.

1.31 Докажите, что значение алгебраической дроби равно нулю при всех значениях переменной:

а) $\frac{(a+2)^2 - 4(a+1) - a^2}{a^2 + 1}$;

б) $\frac{9 + x(x - 6) - (x - 3)^2}{x^2 + 3}$.

а)

Чтобы доказать, что значение алгебраической дроби $\frac{(a + 2)^2 - 4(a + 1) - a^2}{a^2 + 1}$ равно нулю при всех значениях переменной, необходимо показать, что ее числитель тождественно равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель дроби: $a^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным ($a^2 \ge 0$), то выражение $a^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($a^2 + 1 \ge 1$). Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль, и дробь определена для всех действительных значений $a$.
Теперь упростим выражение в числителе: $(a + 2)^2 - 4(a + 1) - a^2$.
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, для второго — распределительный закон умножения:
$(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - (4a + 4) - a^2 = (a^2 + 4a + 4) - 4a - 4 - a^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (4a - 4a) + (4 - 4) = 0$
Поскольку числитель тождественно равен нулю, а знаменатель отличен от нуля при любом значении $a$, значение всей дроби равно нулю:
$\frac{0}{a^2 + 1} = 0$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что значение дроби равно 0 при всех значениях переменной.

б)

Рассмотрим алгебраическую дробь $\frac{9 + x(x - 6) - (x - 3)^2}{x^2 + 3}$.
Как и в предыдущем случае, необходимо доказать, что числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Знаменатель дроби $x^2 + 3$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2 + 3 \ge 3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому дробь определена для всех действительных значений $x$.
Упростим выражение в числителе: $9 + x(x - 6) - (x - 3)^2$.
Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем распределительный закон, а для третьего — формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$9 + (x^2 - 6x) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 9 + x^2 - 6x - (x^2 - 6x + 9)$
Раскроем оставшиеся скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:
$9 + x^2 - 6x - x^2 + 6x - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-6x + 6x) + (9 - 9) = 0$
Так как числитель тождественно равен нулю, а знаменатель всегда отличен от нуля, значение всей дроби равно нулю:
$\frac{0}{x^2 + 3} = 0$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что значение дроби равно 0 при всех значениях переменной.

1.32 Докажите, что алгебраическая дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной:

a) $\frac{2x - 5}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 + 3) + 3(9 + x)}$

б) $\frac{3a - 1}{2(4 - a) - (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + a(a^2 + 2)}$

а)

Алгебраическая дробь не имеет смысла (не определена), если ее знаменатель равен нулю. Найдем область допустимых значений переменной $x$, для этого приравняем знаменатель к нулю и решим уравнение. Если окажется, что знаменатель равен нулю при любом $x$, то дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной.

Рассмотрим и упростим знаменатель дроби:

$D_1 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 + 3) + 3(9 + x)$

Выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Применив ее, получаем:

$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$

Раскроем скобки в остальных частях выражения:

$-x(x^2 + 3) = -x^3 - 3x$

$3(9 + x) = 27 + 3x$

Подставим полученные выражения обратно в знаменатель:

$D_1 = (x^3 - 27) + (-x^3 - 3x) + (27 + 3x)$

Приведем подобные слагаемые:

$D_1 = x^3 - 27 - x^3 - 3x + 27 + 3x = (x^3 - x^3) + (-3x + 3x) + (-27 + 27) = 0$

Знаменатель дроби тождественно равен нулю для любого значения $x$.

Ответ: Поскольку знаменатель дроби всегда равен нулю, а на ноль делить нельзя, данная алгебраическая дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной $x$, что и требовалось доказать.

б)

Аналогично пункту а), проверим, при каких значениях переменной $a$ знаменатель дроби обращается в ноль.

Рассмотрим и упростим знаменатель дроби:

$D_2 = 2(4 - a) - (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + a(a^2 + 2)$

Выражение $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$ является формулой суммы кубов $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. Применив ее, получаем:

$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$

Раскроем скобки в остальных частях выражения:

$2(4 - a) = 8 - 2a$

$a(a^2 + 2) = a^3 + 2a$

Подставим полученные выражения обратно в знаменатель:

$D_2 = (8 - 2a) - (a^3 + 8) + (a^3 + 2a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D_2 = 8 - 2a - a^3 - 8 + a^3 + 2a = (-a^3 + a^3) + (-2a + 2a) + (8 - 8) = 0$

Знаменатель дроби тождественно равен нулю для любого значения $a$.

Ответ: Поскольку знаменатель дроби всегда равен нулю, данная алгебраическая дробь не имеет смысла ни при каких значениях переменной $a$, что и требовалось доказать.