Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь (также называемая рациональным выражением) — это дробное выражение, в котором числитель и знаменатель являются многочленами. Общий вид алгебраической дроби: $ \frac{P}{Q} $, где $P$ — это многочлен, который является числителем дроби, а $Q$ — это многочлен, который является знаменателем дроби.

Ключевое условие для существования алгебраической дроби заключается в том, что её знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, многочлен $Q$ не может быть тождественно равен нулю ($Q \neq 0$). По сути, алгебраическая дробь является обобщением понятия обыкновенной числовой дроби на случай, когда в числителе и знаменателе могут стоять не только числа, но и выражения с переменными.

Примерами алгебраических дробей являются: $ \frac{x+5}{x-3} $, $ \frac{a^2 - 4}{a^2 + 4a + 4} $, $ \frac{7}{y} $, $ \frac{2x^2y - z}{10} $. Даже целый многочлен, например $x^2-1$, можно считать алгебраической дробью, записав его со знаменателем 1: $ \frac{x^2-1}{1} $.

Для каждой алгебраической дроби важно понятие области допустимых значений (ОДЗ). Это множество всех значений переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Например, для дроби $ \frac{x+5}{x-3} $ знаменатель $x-3$ равен нулю при $x=3$. Следовательно, область допустимых значений для этой дроби — все числа, кроме $3$. Это записывается как $x \neq 3$.

Ответ: Алгебраическая дробь — это выражение вида $ \frac{P}{Q} $, где $P$ и $Q$ — многочлены, причём многочлен-знаменатель $Q$ не равен нулю.

3. Укажите выражение, которое по форме является алгебраической дробью, а по содержанию – нет.

Для ответа на этот вопрос необходимо понять разницу между формой и содержанием алгебраической дроби.

По форме алгебраической дробью является любое выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены, и знаменатель $Q$ содержит переменную. То есть, внешне это выглядит как дробь с переменной в знаменателе.

По содержанию выражение является алгебраической дробью (или, точнее, дробно-рациональным выражением), если его нельзя упростить до целого выражения (многочлена). Иными словами, если после всех тождественных преобразований переменная в знаменателе все равно остается.

Таким образом, искомое выражение должно выглядеть как дробь с переменной в знаменателе, но при этом его числитель должен делиться на знаменатель без остатка. В результате такого деления (сокращения) дробь превратится в многочлен.

Рассмотрим в качестве примера следующее выражение: $$ \frac{a^2 - 9}{a + 3} $$

Анализ формы. Данное выражение записано в виде дроби. В числителе стоит многочлен $a^2 - 9$, в знаменателе — многочлен $a + 3$. Так как знаменатель содержит переменную $a$, по форме это выражение является алгебраической дробью.

Анализ содержания. Теперь проанализируем его содержание, выполнив упрощение. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя: $$ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) $$ Подставим это в нашу дробь: $$ \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} $$ Данное выражение определено для всех $a$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль, то есть при $a + 3 \neq 0 \implies a \neq -3$. На этой области определения мы можем сократить дробь на общий множитель $(a + 3)$: $$ \frac{(a - 3)\cancel{(a + 3)}}{\cancel{a + 3}} = a - 3 $$ Результатом упрощения является многочлен $a - 3$. В нем нет операции деления на переменную. Таким образом, по своему содержанию исходное выражение является не дробным, а целым, так как оно тождественно равно многочлену $a - 3$ (при $a \neq -3$).

Вывод: выражение $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$ по форме является алгебраической дробью, но по содержанию — нет, так как оно представляет собой "замаскированный" многочлен.

Ответ: $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$

2. Приведите пример алгебраической дроби с одной переменной; с двумя переменными.

с одной переменной

Алгебраическая дробь — это дробное выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами. В алгебраической дроби с одной переменной эти многочлены содержат только одну буквенную переменную. Важным условием является наличие переменной в знаменателе, так как в противном случае выражение будет целым, а не дробным.

Приведем пример с переменной x. Пусть числитель дроби равен $x-5$, а знаменатель равен $x^2+2$. Данная дробь является алгебраической с одной переменной x. Она определена для всех действительных значений x, поскольку знаменатель $x^2+2$ никогда не обращается в ноль.

Ответ: $\frac{x-5}{x^2+2}$

с двумя переменными

Алгебраическая дробь с двумя переменными — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются многочленами, содержащими две различные переменные. Как и в предыдущем случае, хотя бы одна переменная должна находиться в знаменателе.

В качестве примера рассмотрим дробь с переменными a и b. Пусть числитель равен сумме этих переменных $a+b$, а знаменатель — их разности $a-b$. Эта дробь является алгебраической с двумя переменными. Область допустимых значений этой дроби включает все пары чисел (a, b), для которых знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq b$.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$

4. Какие значения переменных называют допустимыми для алгебраической дроби?

Алгебраическая дробь представляет собой выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — это многочлены. Ключевым свойством любой дроби, в том числе и алгебраической, является то, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль в математике не определена.

Исходя из этого, допустимыми значениями переменных для алгебраической дроби называют все те значения входящих в нее переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Совокупность всех допустимых значений переменных также называют Областью Допустимых Значений (ОДЗ) выражения.

Чтобы найти область допустимых значений для алгебраической дроби, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выписать знаменатель дроби.
2. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.
3. Найденные корни уравнения — это и есть недопустимые значения переменных.
4. Допустимыми значениями будут все остальные значения переменных, кроме найденных.

Пример 1: Найти допустимые значения для дроби $\frac{7x}{x-5}$.

Знаменатель дроби равен $x-5$. Найдем значение $x$, при котором он равен нулю: $x-5=0$ $x=5$

Таким образом, $x=5$ является недопустимым значением. Допустимыми значениями являются все действительные числа, кроме 5. Это записывается как $x \neq 5$.

Пример 2: Найти допустимые значения для дроби $\frac{y+2}{y^2-9}$.

Знаменатель дроби равен $y^2-9$. Приравняем его к нулю: $y^2-9=0$ $(y-3)(y+3)=0$

Это уравнение имеет два корня: $y_1=3$ и $y_2=-3$.

Следовательно, недопустимыми значениями являются $y=3$ и $y=-3$. Допустимые значения — это все действительные числа, кроме 3 и -3.

Ответ: Допустимыми значениями переменных для алгебраической дроби называют все значения этих переменных, при подстановке которых в выражение знаменатель дроби не становится равным нулю.

47 Найдите точку пересечения графиков функций:

а) $y = 2x - 1$ и $y = 5 - x$;

б) $y = 0,5x - 1$ и $y = -x - 4$;

в) $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$;

г) $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 1$.

а) Чтобы найти точку пересечения графиков двух функций, необходимо найти такие значения координат $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем выражения для $y$ из уравнений $y = 2x - 1$ и $y = 5 - x$.

$2x - 1 = 5 - x$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую.

$2x + x = 5 + 1$

$3x = 6$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$.

$x = \frac{6}{3} = 2$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений. Например, в $y = 5 - x$.

$y = 5 - 2 = 3$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(2, 3)$.

Ответ: $(2, 3)$

б) Найдем точку пересечения графиков функций $y = 0,5x - 1$ и $y = -x - 4$. Приравняем правые части уравнений:

$0,5x - 1 = -x - 4$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой.

$0,5x + x = -4 + 1$

$1,5x = -3$

Разделим обе части уравнения на 1,5.

$x = \frac{-3}{1,5} = -2$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -2$ в уравнение $y = -x - 4$.

$y = -(-2) - 4 = 2 - 4 = -2$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(-2, -2)$.

Ответ: $(-2, -2)$

в) Найдем точку пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$. Приравняем правые части:

$2x + 3 = 3x + 2$

Решим уравнение. Удобнее перенести $2x$ в правую часть, а 2 — в левую.

$3 - 2 = 3x - 2x$

$1 = x$

Мы нашли $x = 1$. Теперь найдем $y$, подставив это значение в первое уравнение $y = 2x + 3$.

$y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Координаты точки пересечения — $(1, 5)$.

Ответ: $(1, 5)$

г) Найдем точку пересечения графиков функций $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 1$. Приравняем правые части:

$-3x + 4 = 2x - 1$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а свободные члены — в левой.

$4 + 1 = 2x + 3x$

$5 = 5x$

Разделим обе части уравнения на 5.

$x = \frac{5}{5} = 1$

Найдем $y$, подставив $x = 1$ во второе уравнение $y = 2x - 1$.

$y = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$

Координаты точки пересечения — $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$

48 Постройте график функции $y = x^2$.

Найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном -3; 1; 2;

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; 1; 9;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0];

г) координаты точки пересечения параболы и прямой $y = 4$.

Для построения графика функции $y = x^2$ (параболы с вершиной в начале координат и ветвями вверх) найдем несколько точек. Составим таблицу значений: если аргумент $x$ принимает значения -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, то соответствующие значения функции $y$ будут 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Отметив точки с координатами $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$ на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим искомый график. На основе этого графика или с помощью вычислений найдем требуемые значения.

а) значения функции при значении аргумента, равном -3; 1; 2;
Чтобы найти значения функции $y = x^2$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить эти значения в уравнение функции.
При $x = -3$: $y = (-3)^2 = 9$.
При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$.
При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$.
Ответ: 9; 1; 4.

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; 1; 9;
Чтобы найти значения аргумента $x$ при заданных значениях функции $y$, необходимо решить уравнение $x^2 = y$ для каждого значения $y$.
Если $y = 0$: $x^2 = 0$, следовательно, $x = 0$.
Если $y = 1$: $x^2 = 1$, следовательно, $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$.
Если $y = 9$: $x^2 = 9$, следовательно, $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x = 3$ и $x = -3$.
Ответ: при $y=0$ значение $x=0$; при $y=1$ значения $x = \pm1$; при $y=9$ значения $x = \pm3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0];
Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2; 0]$. Вершина параболы, являющаяся её точкой минимума, находится в точке $(0, 0)$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается именно в ней.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.
На интервале $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ является монотонно убывающей. Следовательно, на отрезке $[-2; 0]$ наибольшее значение достигается на его левом конце, то есть при $x = -2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^2 = 4$.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее равно 0.

г) координаты точки пересечения параболы и прямой y = 4.
Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4$ необходимо решить систему уравнений. Приравняем выражения для $y$:
$x^2 = 4$
Решая это уравнение, получаем $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Для каждого из этих значений $x$ соответствующее значение $y$ равно 4. Таким образом, мы имеем две точки пересечения.
Ответ: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$.

49 Постройте график функции $y = -x^2$.

Найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном $-3$; $-2$; $1$;

б) значения аргумента, если значение функции равно $0$; $-1$; $-4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$;

г) координаты точек пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = 2x$.

Для построения графика функции $y = -x^2$ необходимо составить таблицу соответствия значений аргумента $x$ и функции $y$. Графиком данной функции является парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вниз.

Составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график параболы $y = -x^2$.

а) значения функции при значении аргумента, равном –3; –2; 1;
Чтобы найти значения функции, подставим данные значения аргумента $x$ в формулу $y = -x^2$.
Если $x = -3$, то $y = -(-3)^2 = -9$.
Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 = -4$.
Если $x = 1$, то $y = -(1)^2 = -1$.
Ответ: при $x=-3$ значение функции равно $-9$; при $x=-2$ значение функции равно $-4$; при $x=1$ значение функции равно $-1$.

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; –1; –4;
Чтобы найти значения аргумента, подставим данные значения функции $y$ в формулу $y = -x^2$ и решим получившиеся уравнения.
Если $y = 0$, то $0 = -x^2$, откуда $x^2 = 0$, следовательно $x = 0$.
Если $y = -1$, то $-1 = -x^2$, откуда $x^2 = 1$, следовательно $x = 1$ или $x = -1$.
Если $y = -4$, то $-4 = -x^2$, откуда $x^2 = 4$, следовательно $x = 2$ или $x = -2$.
Ответ: значение функции равно $0$ при $x=0$; значение функции равно $-1$ при $x = \pm1$; значение функции равно $-4$ при $x = \pm2$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [–1; 3];
График функции $y = -x^2$ – это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $(0,0)$. Эта точка является точкой глобального максимума функции. Так как $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=0$.
$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.
Наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Найдем значения функции на концах отрезка:
$y(-1) = -(-1)^2 = -1$.
$y(3) = -(3)^2 = -9$.
Сравнивая значения $-1$ и $-9$, заключаем, что $y_{наим} = -9$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $-9$, а наибольшее равно $0$.

г) координаты точек пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = 2x$.
Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо решить систему уравнений: $\begin{cases} y = -x^2 \\ y = 2x \end{cases}$.
Приравняем правые части уравнений: $-x^2 = 2x$.
Перенесем все слагаемые в одну часть и решим уравнение: $x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Отсюда находим два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 2x$.
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем точку $(-2, -4)$.
Ответ: координаты точек пересечения параболы и прямой: $(0, 0)$ и $(-2, -4)$.

50 Решите графически уравнение:

a) $x^2 = x + 2$;

б) $x^2 = -x + 6$;

в) $x^2 = 2x + 3$;

г) $x^2 = -3x$.

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются решениями (корнями) уравнения.

Во всех представленных уравнениях левая часть — это $x^2$. Значит, одним из графиков всегда будет парабола $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

а) $x^2 = x + 2$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = x + 2$.

Для построения прямой $y = x + 2$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$, получаем точку $(0, 2)$;
• при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$, получаем точку $(-2, 0)$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Это точки $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Абсциссы этих точек $x = -1$ и $x = 2$ являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = -1$: $(-1)^2 = 1$ и $-1 + 2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Для $x = 2$: $2^2 = 4$ и $2 + 2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

б) $x^2 = -x + 6$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = -x + 6$.

Для построения прямой $y = -x + 6$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -0 + 6 = 6$, получаем точку $(0, 6)$;
• при $x = 2$, $y = -2 + 6 = 4$, получаем точку $(2, 4)$.

На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в точках $(-3, 9)$ и $(2, 4)$. Следовательно, корнями уравнения являются абсциссы этих точек.

Проверка:
Для $x = -3$: $(-3)^2 = 9$ и $-(-3) + 6 = 3 + 6 = 9$. Равенство $9=9$ верно.
Для $x = 2$: $2^2 = 4$ и $-2 + 6 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 2$.

в) $x^2 = 2x + 3$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 3$.

Для построения прямой $y = 2x + 3$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$;
• при $x = -1$, $y = 2(-1) + 3 = 1$, получаем точку $(-1, 1)$.

Графики пересекаются в точках $(-1, 1)$ и $(3, 9)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = -1$: $(-1)^2 = 1$ и $2(-1) + 3 = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Для $x = 3$: $3^2 = 9$ и $2 \cdot 3 + 3 = 9$. Равенство $9=9$ верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

г) $x^2 = -3x$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = -3x$.

Прямая $y = -3x$ проходит через начало координат $(0, 0)$. Найдем еще одну точку:

• при $x = -3$, $y = -3(-3) = 9$, получаем точку $(-3, 9)$.

Парабола и прямая пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(-3, 9)$. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = 0$: $0^2 = 0$ и $-3 \cdot 0 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Для $x = -3$: $(-3)^2 = 9$ и $-3(-3) = 9$. Равенство $9=9$ верно.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0$.

51 Функция задана формулой $y = f(x)$, где $f(x) = 2x - 6$.

a) Найдите: $f(-1)$, $f(0)$, $f(3)$.

б) Решите уравнение $f(2x) = 4$.

Дана функция, заданная формулой $y = f(x)$, где $f(x) = 2x - 6$.

а) Для того чтобы найти значения функции $f(-1)$, $f(0)$ и $f(3)$, необходимо подставить соответствующие значения аргумента (числа в скобках) вместо переменной $x$ в формулу функции.

• Вычислим значение $f(-1)$:

  $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 6 = -2 - 6 = -8$

• Вычислим значение $f(0)$:

  $f(0) = 2 \cdot 0 - 6 = 0 - 6 = -6$

• Вычислим значение $f(3)$:

  $f(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0$

Ответ: $f(-1) = -8$, $f(0) = -6$, $f(3) = 0$.

б) Чтобы решить уравнение $f(2x) = 4$, сначала найдем, как выглядит функция $f(2x)$. Для этого в исходное выражение $f(x) = 2x - 6$ подставим $2x$ вместо $x$.

$f(2x) = 2 \cdot (2x) - 6$

$f(2x) = 4x - 6$

Теперь мы можем подставить полученное выражение в уравнение $f(2x) = 4$:

$4x - 6 = 4$

Решим это линейное уравнение. Сначала перенесем свободный член ($-6$) из левой части в правую, изменив его знак:

$4x = 4 + 6$

$4x = 10$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4:

$x = \frac{10}{4}$

Сократим дробь или представим ее в виде десятичного числа:

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$.

52 Функция задана формулой $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$.

a) Найдите: $f(-1)$, $f(0)$, $f(3)$.

б) Решите уравнение $f\left(\frac{x}{2}\right) = 1$.

а)

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Чтобы найти значения функции $f(-1)$, $f(0)$ и $f(3)$, необходимо подставить соответствующие значения аргумента ($x$) в формулу функции.

1. Для $x = -1$:
$f(-1) = (-1)^2 = 1$.

2. Для $x = 0$:
$f(0) = 0^2 = 0$.

3. Для $x = 3$:
$f(3) = 3^2 = 9$.

Ответ: $f(-1) = 1, f(0) = 0, f(3) = 9$.

б)

Требуется решить уравнение $f\left(\frac{x}{2}\right) = 1$.

Сначала найдем выражение для $f\left(\frac{x}{2}\right)$. Для этого подставим $\frac{x}{2}$ в качестве аргумента в нашу функцию $f(x) = x^2$:

$f\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2^2} = \frac{x^2}{4}$.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x^2}{4} = 1$.

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на 4:

$x^2 = 4$.

Это квадратное уравнение, которое имеет два корня. Найдем их, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Ответ: $x = -2; 2$.

53 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -3 \le x \le 1, \\ x - 2, & \text{если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочной функции необходимо построить график каждой из ее частей на соответствующем промежутке.

Сначала рассмотрим функцию $y = -x^2$ на промежутке $[-3; 1]$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Вычислим значения функции в нескольких точках, включая концы промежутка:

• При $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Координаты точки: $(-3, -9)$.
• При $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Координаты точки: $(-2, -4)$.
• При $x = 0$, $y = -0^2 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = -1^2 = -1$. Координаты точки: $(1, -1)$.

Поскольку неравенство $-3 \le x \le 1$ нестрогое, точки на концах промежутка, $(-3, -9)$ и $(1, -1)$, являются частью графика и отмечаются закрашенными кружками. Соединяем эти точки плавной кривой (дугой параболы).

Далее рассмотрим функцию $y = x - 2$ на промежутке $(1; 4]$. Графиком этой функции является прямая линия. Для построения этого участка графика найдем координаты его конечных точек:

• На левой границе, при $x=1$, получаем $y = 1 - 2 = -1$. Так как неравенство $1 < x$ строгое, точка $(1, -1)$ не принадлежит этому участку графика и отмечается выколотым (пустым) кружком.
• На правой границе, при $x=4$, получаем $y = 4 - 2 = 2$. Так как неравенство $x \le 4$ нестрогое, точка $(4, 2)$ принадлежит графику и отмечается закрашенным кружком.

Соединяем эти две точки отрезком прямой.

Объединяя обе части на одной координатной плоскости, мы видим, что первая часть (парабола) заканчивается в закрашенной точке $(1, -1)$, а вторая часть (прямая) начинается в выколотой точке $(1, -1)$. Это означает, что в точке $x=1$ функция непрерывна, и ее значение $y(1) = -1$ определяется по первой формуле. Итоговый график не имеет разрывов.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая часть — это дуга параболы $y=-x^2$, определенная на отрезке $[-3, 1]$, которая соединяет точки $(-3, -9)$ и $(1, -1)$. Вторая часть — это отрезок прямой $y=x-2$, определенный на полуинтервале $(1, 4]$, который соединяет точки $(1, -1)$ и $(4, 2)$. Обе части соединяются в точке $(1, -1)$, образуя непрерывную кривую.

Решите уравнение:

54 a) $19x - 3x + 4x = 80;$

б) $0,17x - 13 = 10 - 0,29x;$

в) $20x - 13x - 12x = 6;$

г) $8x + 0,77 = 4,61 - 8x.$

а) $19x - 3x + 4x = 80$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, то есть сложим и вычтем коэффициенты при $x$:

$(19 - 3 + 4)x = 80$

$16x + 4x = 80$

$20x = 80$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 20:

$x = \frac{80}{20}$

$x = 4$

Ответ: 4

б) $0,17x - 13 = 10 - 0,29x$

Чтобы решить это уравнение, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $-0,29x$ в левую часть со знаком плюс, а $-13$ в правую часть со знаком плюс:

$0,17x + 0,29x = 10 + 13$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$0,46x = 23$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,46:

$x = \frac{23}{0,46}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{23 \cdot 100}{0,46 \cdot 100} = \frac{2300}{46}$

$x = 50$

Ответ: 50

в) $20x - 13x - 12x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, выполнив действия с коэффициентами при $x$:

$(20 - 13 - 12)x = 6$

$7x - 12x = 6$

$-5x = 6$

Теперь разделим обе части уравнения на -5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{6}{-5}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$x = -1,2$

Ответ: -1,2

г) $8x + 0,77 = 4,61 - 8x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой. Перенесем $-8x$ в левую часть со знаком плюс, а $0,77$ в правую часть со знаком минус:

$8x + 8x = 4,61 - 0,77$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$16x = 3,84$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 16:

$x = \frac{3,84}{16}$

$x = 0,24$

Ответ: 0,24

55 а) $(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = 0;$

б) $(x - 2)(x - 3) - (x - 1)(x - 4) = 0;$

в) $10x^2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31;$

г) $12x^2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2.$

а) $(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = 0$

Сначала раскроем скобки в каждом произведении многочленов:

$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$(x + 3)(x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 + 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) = 0$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторыми скобками:

$x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - 7x) + (2 - 12) = 0$

$-4x - 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$-4x = 10$

Найдем $x$:

$x = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x = -2.5$

б) $(x - 2)(x - 3) - (x - 1)(x - 4) = 0$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

$(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$

Подставим выражения в исходное уравнение:

$(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 5x + 4) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 5x - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-5x + 5x) + (6 - 4) = 0$

$0 + 0 + 2 = 0$

$2 = 0$

Получено неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

в) $10x^2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31$

Раскроем скобки в произведении:

$(2x - 3)(5x - 1) = 2x \cdot 5x + 2x \cdot (-1) - 3 \cdot 5x - 3 \cdot (-1) = 10x^2 - 2x - 15x + 3 = 10x^2 - 17x + 3$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$10x^2 - (10x^2 - 17x + 3) = 31$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$10x^2 - 10x^2 + 17x - 3 = 31$

Приведем подобные слагаемые:

$17x - 3 = 31$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$17x = 31 + 3$

$17x = 34$

Найдем $x$:

$x = \frac{34}{17} = 2$

Ответ: $x = 2$

г) $12x^2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2$

Раскроем скобки в произведении:

$(4x - 3)(3x + 1) = 4x \cdot 3x + 4x \cdot 1 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 1 = 12x^2 + 4x - 9x - 3 = 12x^2 - 5x - 3$

Подставим выражение в уравнение:

$12x^2 - (12x^2 - 5x - 3) = -2$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 12x^2 + 5x + 3 = -2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x + 3 = -2$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:

$5x = -2 - 3$

$5x = -5$

Найдем $x$:

$x = \frac{-5}{5} = -1$

Ответ: $x = -1$