Номер 50, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 50, страница 9.

Условие.

50 Решите графически уравнение:

a) $x^2 = x + 2$;

б) $x^2 = -x + 6$;

в) $x^2 = 2x + 3$;

г) $x^2 = -3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются решениями (корнями) уравнения.

Во всех представленных уравнениях левая часть — это $x^2$. Значит, одним из графиков всегда будет парабола $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

а) $x^2 = x + 2$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = x + 2$.

Для построения прямой $y = x + 2$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$, получаем точку $(0, 2)$;
• при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$, получаем точку $(-2, 0)$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Это точки $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Абсциссы этих точек $x = -1$ и $x = 2$ являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = -1$: $(-1)^2 = 1$ и $-1 + 2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Для $x = 2$: $2^2 = 4$ и $2 + 2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

б) $x^2 = -x + 6$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = -x + 6$.

Для построения прямой $y = -x + 6$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -0 + 6 = 6$, получаем точку $(0, 6)$;
• при $x = 2$, $y = -2 + 6 = 4$, получаем точку $(2, 4)$.

На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в точках $(-3, 9)$ и $(2, 4)$. Следовательно, корнями уравнения являются абсциссы этих точек.

Проверка:
Для $x = -3$: $(-3)^2 = 9$ и $-(-3) + 6 = 3 + 6 = 9$. Равенство $9=9$ верно.
Для $x = 2$: $2^2 = 4$ и $-2 + 6 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 2$.

в) $x^2 = 2x + 3$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 3$.

Для построения прямой $y = 2x + 3$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$;
• при $x = -1$, $y = 2(-1) + 3 = 1$, получаем точку $(-1, 1)$.

Графики пересекаются в точках $(-1, 1)$ и $(3, 9)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = -1$: $(-1)^2 = 1$ и $2(-1) + 3 = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Для $x = 3$: $3^2 = 9$ и $2 \cdot 3 + 3 = 9$. Равенство $9=9$ верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

г) $x^2 = -3x$

Построим в одной системе координат графики функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = -3x$.

Прямая $y = -3x$ проходит через начало координат $(0, 0)$. Найдем еще одну точку:

• при $x = -3$, $y = -3(-3) = 9$, получаем точку $(-3, 9)$.

Парабола и прямая пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(-3, 9)$. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = 0$: $0^2 = 0$ и $-3 \cdot 0 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Для $x = -3$: $(-3)^2 = 9$ и $-3(-3) = 9$. Равенство $9=9$ верно.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0$.